Сумма

[Clay]

Можно ли упростить сумму

$\sum_{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} (n-2k+1)(n-2k+2)\ldots(n-2k+p),$

где $n$ -- целое неотрицательное, $p$ -- натуральное число?

[Sirion]

$p!$\sum\limits_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor}C_{n-2k+p}^p

[Sonic86]

Дальше, если основных тождеств не знаете, суммируете, например, по индукции, исходя из $C_n^k = C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}$ (ну а если знаете, тогда это для Вас вообще не проблема).

[Sirion]

Sonic86 в сообщении #593361 писал(а):

исходя из $C_n^k = C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}$

Это, конечно, очень здорово, но здесь нижние индексы идут через два, а не через один. Если взять суммы для двух соседних n и сложить их между собой - всё замечательно сворачивается в одну цешечку. А вот что делать с одной суммой - как-то неочевидно.

[Clay]

Да, всё не так просто! Ведь под "упрощением" понимается избавление от суммирования, требуется выражение в "замкнутой форме".