Возможна ли такая раскраска?

[Ktina]

Можно ли раскрасить натуральные числа в 2009 цветов так, чтобы каждый цвет встречался бесконечное число раз, и не нашлось тройки чисел, покрашенных в три различных цвета, таких, что произведение двух из них равно третьему?


Моё решение немножко отличается от официального, хотя идея, вроде, та же.
Если наименьший простой делитель натурального числа $n$ - простое число, порядковый номер которого даёт остаток $m$ при делении на 2009, то покрасим число $n$ в "эмный" цвет.
Единичку же можно покрасить в тот же цвет, что и двоечку.
Тогда, если число цвета $m_i$ умножить на число цвета $m_j$, цвет произведения будет либо $m_i$, либо $m_j$, что и требовалось в задаче.

Верно ли моё решение?

Вот официальное: http://problems.ru/view_problem_details ... ?id=115417 (это Всесоюзка, пятый этап)