Задача по теории чисел

[Clayton]

Известно,что для натуральных $a,b,c$ ${ a }^{ 3 }\vdots b$,${ b }^{ 3 }\vdots c$,${ c }^{ 3 }\vdots a$
Доказать,что ${ (a+b+c) }^{ 13 }\vdots abc$

Проверьте,верно ли мое решение:
Из условия следует, что все три числа кратны какому-то простому числу $p$.Тогда $a={ p }^{ \alpha }A,b={ p }^{ \beta }B,c={ p }^{ \gamma }C$.Получаем,что $3\alpha \ge \beta \ge \frac { \gamma }{ 3 } $ (это из условия о делимости).Тогда $9\alpha \ge 3\beta \ge \gamma $
${ (a+b+c) }^{ 13 }={ p }^{ 13 }M\vdots { p }^{ \alpha }{ p }^{ \beta }{ p }^{ y }$,последнее верно,т.к.${ p }^{ \alpha }{ p }^{ \beta }{ p }^{ y }\le { p }^{ \alpha +3\alpha +9\alpha }={ p }^{ 13 }$.Ну и аналогично для всех остальных простых делителей.

[Shadow]

Clayton в сообщении #592565 писал(а):

Из условия следует, что все три числа кратны какому-то простому числу

Лучше сказать, что у них одинаковые простые делители (в разных степенях). И для этих степеней из неравенства $9k\ge 3m \ge n$ следует $13\min(k,m,n) \ge k+m+n$