Помогите найти предел

[Vasiliy4554]

Здравствуйте!

Вопрос связан с нахождением предела функции

$f(x) = \frac{x - \sin x \cos x}{x ( 1 - \cos x)}}$ при $ x \mapsto 0$

Сам пробовал два варианта: 1) использование тригонометрических формул ( синус двойного угла, косинус двойного угла для знаменателя)
2) представление sinx как x + o(x) (не уверен в корректности такого представления в данной задаче).

[Nemiroff]

Vasiliy4554 в сообщении #592169 писал(а):

2) представление sinx как x + o(x) (не уверен в корректности такого представления в данной задаче).

А почему не уверены?

[Shtorm]

А по правилу Лопиталя сказали нельзя?

[Vasiliy4554]

Спасибо за ответы

Nemiroff в сообщении #592173 писал(а):

А почему не уверены?

такое представление конечно корректно. Меня оно приводит к конструкции вида

$1 - \frac{o(x) \cos x}{x (1 - \cos x)}$ , с которой не очень понятно что делать

Shtorm в сообщении #592197 писал(а):

А по правилу Лопиталя сказали нельзя?

Если применить правило Лопиталя неопределенность $\frac 00$ сохраняется

[Nemiroff]

Vasiliy4554 в сообщении #592224 писал(а):

такое представление конечно корректно. Меня оно приводит к конструкции вида

А вы дальше по Тейлору раскладывайте.

Vasiliy4554 в сообщении #592224 писал(а):

Если применить правило Лопиталя неопределенность $\frac 00$ сохраняется

А вы дальше применяйте.

[Shtorm]

Vasiliy4554 в сообщении #592224 писал(а):

Если применить правило Лопиталя неопределенность $\frac 00$

Обычно в таких примерах пишут: "Решить не используя правило Лопиталя". Но если можно - тогда вообще нет проблем! Я лично решил Ваш пример, применив 4 раза правило Лопиталя.

[bim]

Первый замечательный предел:
при х->0 sin(x)~x
Просто sin(x) меняешь на x, после этого все сокращается и остается единица

[Shadow]

bim в сообщении #592265 писал(а):

Просто sin(x) меняешь на x, после этого все сокращается и остается единица

А вот так делать нельзя.

[bim]

почему это...

[Nemiroff]

bim в сообщении #592278 писал(а):

почему это...

Это вы должны обосновать свой способ.
Вы даже ответ правильный не получите.

[bim]

Согласен, что ответ неправильный, он равен 4/3 (Maple)

Но пожалуйста, объясните почему так делать нельзя?! Ведь если бы верхнего икса не было, делать было бы можно. А если разбить на разность пределов... применить первый замечательный, потом опять засунуть в один...

[Nemiroff]

bim в сообщении #592292 писал(а):

Но пожалуйста, объясните почему так делать нельзя?! Ведь если бы верхнего икса не было, делать было бы можно. А если разбить на разность пределов... применить первый замечательный, потом опять засунуть в один...

Я, честно, не помню, кто там из замечательных пределов кто, это неважно. Нельзя просто заменить $x$ на $\sin x$ ну хотя бы просто потому, что это разные функции. Например, их разность хоть и бесконечно малая, но все же не нуль, что тут и вылезает.
На разность разбить не получится, потому что пределы по отдельности бесконечные.

Проще всего пользоваться разложением функций в ряд Тейлора. Это то же ваше "эквивалентно", только математически грамотное.

А вообще, устный предел в Мапле считать - это круто.

[bim]

Идея замечательного предела в том, что, как раз, при стремлении икс к нулю такую замену сделать можно

[Nemiroff]

Не-а.

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$

Это не значит, что их можно заменять - это значит, что в первом ненулевом порядке разложения в степенной ряд (к примеру) коэффициенты у них одинаковые. Поэтому члены ряда сокращаются, а старшие члены все равно бесконечно малы.
Но при этом неверно что:

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}=\lim_{x \to 0}\frac{x - x}{x^3}=\lim_{x \to 0}\frac{0}{x^3}=0$$

В первом равенстве ошибка. Нельзя просто заменить одну функцию другой.

[AKM]

bim в сообщении #592265 писал(а):

при х->0 sin(x)~x

bim,

извольте соблюдать Правила.
Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).