Рациональное число в виде бесконечной периодической дроби

[goganchic]

Недавно просмотривал учебник Зорича и наткнулся на такое упражнение в одной из первых тем: "Покажите, что запись рационального числа в любой q-ичной системе счисления периодична, т.е., начиная с некоторого разряда, состоит из периодически повторяющейся группы цифр.

Доказать тот факт что любому периодическому числу в q-ичной системе счисления можно сопоставить некоторое рациональное число, если я не ошибаюсь, можно следующим способом:

$x = a_pq^p + q_{p-1}q^{p-1} + ... + a_{p-k}q^{p-k} + a_{p-k-1}q^{p-k-1} + ... + a_{p-k-n}q^{p-k-n} + a_{p-k-1}q^{p-k-n-1} + ... + a_{p-k-n}q^{p-2n} + ...$
$q^nx = a_pq^{p + n} + q_{p-1}q^{p + n - 1} + ... + a_{p-k}q^{p + n - k} + a_{p-k-1}q^{p + n - k - 1} + ... + a_{p-k-n}q^{p - k} + a_{p-k-1}q^{p - k - 1} + ... + a_{p-k-n}q^{p - n} + ...$
$q^nx - x = a_pq^{p + n} + q_{p-1}q^{p + n - 1} + ... + (a_{p-n} - a_p)q^p + (a_{p-n-1} - a{p-1})q^{p - 1} + ... + (a_{p-2n} - a_{p-n})q^{p-n}$
$\frac{q^nx - x}{q^n - 1} = \frac{a_pq^{p + n} + q_{p-1}q^{p + n - 1} + ... + (a_{p-n} - a_p)q^p + (a_{p-n-1} - a{p-1})q^{p - 1} + ... + (a_{p-2n} - a_{p-n})q^{p-n}}{q^n - 1}$

После этого домножаем числительно и знаменатель на q в той степени, чтобы исключить дробную часть у числителя, а после этого сокращаем полученную дробь. Таким образом получаем рациональное число по определению (числитель целый, знаменатель - натуральный).

Но вот как доказать обратное, а именно тот факт что любое рациональное число можно преставить в виде периодической дроби в любой системе счисления? Где не искал - везде приводится этот факт без доказательства. Может быть это аксиома (хотя очень сомневаюсь, т.е. из аксиоматики действительный чисел такой факт не следует) для десятичной системы и в упражнении нужно показать что данное утверждение верно для других систем счисления?

[AV_77]

Вы деление уголком помните? При каждом делении остаток будет меньше делителя. А так как число возможных остатков конечно, то когда-то начнутся повторения. Вот он и период получился.

[goganchic]

извините, но я немного не понял, когда число пи или там экспоненту представляют в виде десятичной дроби - количество цифр тоже конечно, но при этом дробь-то не периодическая

[Someone]

goganchic в сообщении #588615 писал(а):

экспоненту представляют в виде десятичной дроби

Э-э-э... Не понял. Экспонента - это не число, а показательная функция $e^x$. Как её представить в виде десятичной дроби?

goganchic в сообщении #588615 писал(а):

извините, но я немного не понял, когда число пи или там экспоненту представляют в виде десятичной дроби - количество цифр тоже конечно

Какое "количество цифр"? AV_77 говорил вовсе не о количестве цифр.

[Sonic86]

goganchic в сообщении #588615 писал(а):

когда число пи или там экспоненту представляют в виде десятичной дроби - количество цифр тоже конечно

Да ну!? Конечное число цифр используют для приближенных к ним значений. а сами числа иррациональны.

И не путайте цифры и числа.

[AV_77]

А разве $\pi$ рационально? Просто возьмите пример и посмотрите для десятичной системы как это происходит.
Когда мы дробь $\frac{a}{b}$ перевидим в десятичную систему счисления, мы на каждом шагу делим числитель на знаменатель и определяем очередную цифру десятичной дроби. Если остаток получился 0, то деление закончилось и мы получим конечную десятичную дробь. Если остаток не нулевой, то мы приписываем к нему 0 (умножаем на 10) и снова делим на знаменатель, определяя следующую цифру. Так как делитель у нас не меняется (это знаменатель рациональной дроби), то в какой-то момент мы получим повторяющийся остаток.

[goganchic]

Точно! Спасибо!