вопрос из теории потенциала

[vornczo]

Пусть у нас есть два тела, для простоты возьмем две сферы. Первая сфера однородная с плотностью $\rho$, вторая сфера неоднородная, но функция плотности на границе принимает то же самое значение $\rho$. Ясно, что потенциал внутри у этих двух сфер разный. Но вне они обе должны удовлетворять уравнению Лапласа ,условие непрерывности на границе, так как плотность на границе одинакова, вроде должны дать одинаковые условия на потенциал. И вроде как получается что вне потенциал обоих сфер совпадает. Но это кажется не правдоподобным, может быть я что то упустил ?

[gris]

Массы, наверное, равны? Тогда на достаточном удалении потенциалы будут приближённо одинаковыми, а вблизи с чего бы? Вдруг у второй сферы почти вся масса сосредоточена близи некоторой точки рядом с поверхностью. Если наложить условие сферической симметричности плотности, тогда краевое условие не обязательно. Достаточно равенства масс, и потенциалы за большим радиусом будут равны.

[vornczo]

Условия сферической симметрии плотности нет, можно для этого наверное вместо сферы рассматривать эллипсоид вращения. И хотелось бы увидеть где в процессе решения уравнения Лапласа возникнет различие между однородным и неоднородным телом ?

[svv]

Раз так, возьмите две сферы, внутри которых заряд (масса) сосредоточен в одной точке. Но для первой сферы -- в центре, а для второй -- как описал gris, ближе к поверхности. Так как потенциал точечного заряда хорошо известен, Вы можете самостоятельно исследовать, где там зарыта собака.

Для простоты радиусы сфер единичные, заряды единичные.

[gris]

Но там же интегрирование ведётся по всему объёму тела, создающего потенциал. Или Вы о чём-то другом?

[vornczo]

gris в сообщении #588481 писал(а):

Но там же интегрирование ведётся по всему объёму тела, создающего потенциал. Или Вы о чём-то другом?

Тут правильнее наверно сказать не две сферы а два шара один однородный а другой неоднородный. Внутри решение уравнения Пуассона конечно записывается в виде интеграла по объему тела (который все равно как правило не берется и приходится все равно работать с уравнением Пуассона), но меня интересует потенциал вне объема тела, где нужно решать уравнение Лапласа.

[gris]

Как я понял, Вы рассматриваете два шара одинакового радиуса, одинаковой массы и даже с одинаковым распределением поверхностной плотности. Внутри распределение плотности различно. Вы хотите понять, на каком этапе решения уравнения Лапласа это различие учитывается?

[vornczo]

Да, вы правильно поняли.

[gris]

А что там за уравнение Лапласа?
Вы рассматриваете нерелятивистский, Ньютоновский, случай?

[vornczo]

Да классический, Ньютоновский случай $\Delta U=0$

[gris]

А что с граничными условиями? Что рассматривается на поверхности шара?

[vornczo]

берут решение уравнения Пуассона $\Delta U_1=-4 \pi \rho$ и решение уравнения лапласа $\Delta U_2=0$ и на границе потенциал должен быть гладким: $U_1|_{\mbox{гр}}=U_2|_{\mbox{гр}}$, $ \operatorname{grad}{U_{\mbox{гр}}= \operatorname{grad}U_2|_{\mbox{гр}}$

[gris]

Хорошо. Так с чего Вы решили, что граничные условия для двух шаров будут одинаковы?
Ведь одинаково всего лишь распределение поверхностной плотности $\rho$, а уравнение у нас написано для $U$.

[Munin]

Заметьте, что потенциал равен потенциалу в направлении, нормальном границе, но не в направлении вдоль границы. Так что эти граничные условия ещё не определяют решение полностью. Для двух сфер с разными распределениями плотности внутри, в общем случае, потенциалы будут разными.

[ewert]

vornczo в сообщении #588503 писал(а):

Да классический, Ньютоновский случай $\Delta U=0$

Там не уравнение Лапласа надо решать, а просто сворачивать его фундаментальное решение с плотностью, т.е. брать соответствующий интеграл по шару. Граничные же условия для потенциала на сфере никак с приповерхностной плотностью не связаны.