вопрос из теории потенциала

[vornczo]

ewert в сообщении #588518 писал(а):

vornczo в сообщении #588503 писал(а):

Да классический, Ньютоновский случай $\Delta U=0$

Там не уравнение Лапласа надо решать, а просто сворачивать его фундаментальное решение с плотностью, т.е. брать соответствующий интеграл по шару. Граничные же условия для потенциала на сфере никак с приповерхностной плотностью не связаны.

Можете немного поподробнее пояснить

[Munin]

$\displaystyle \varphi(x_1,y_1,z_1)=\iiint\dfrac{\rho(x_2,y_2,z_2)}{\sqrt{\Delta r^2}}dx_2dy_2dz_2$

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Помогите неспециалисту проследить за ходом полёта мысли. Т.е. не догоняю, о чём вообще идёт речь. Если напишу ерунду - просьба не смеяться.

Допустим (не теряя общности) речь идёт о тяготении. Общеизвестно (Ньютон), что шаровой слой притягивает также как и сосредоточенная в центре масса. Отсюда следует, что потенциал шара со сферически симметричной плотностью зависит исключительно от массы шара, а не от распределения плотности.

[gris]

ТС отказался от сферической симметричности. А так — да. Вне шара потенциал не будет зависеть от распределения плотности по слоям.

[vornczo]

Munin в сообщении #588579 писал(а):

$\displaystyle \varphi(x_1,y_1,z_1)=\iiint\dfrac{\rho(x_2,y_2,z_2)}{\sqrt{\Delta r^2}}dx_2dy_2dz_2$

но ведь это потенциал внутри шара, а я спрашиваю про потенциал вне шара, или я чего то не понимаю?

[Munin]

мат-ламер
Да, только это очень специальный случай - сферическое распределение плотности.

Вообще, для любого распределения плотности в шаре можно найти эквивалентное не равное ему другое распределение плотности, такое что вне шара создаваемые ими поля будут равными. Например, любой элементарный объём, в котором плотность не нуль, можно заменить на сферический слой конечного радиуса. Но это просто значит, что распределения плотности как-то делятся на классы эквивалентности. Это вовсе не значит, что два произвольно взятых распределения плотности окажутся в одном классе.

vornczo
Нет, это потенциал везде. Вот интеграл можно брать только по шару.

[vornczo]

Munin в сообщении #588587 писал(а):

мат-ламер
Да, только это очень специальный случай - сферическое распределение плотности.

Вообще, для любого распределения плотности в шаре можно найти эквивалентное не равное ему другое распределение плотности, такое что вне шара создаваемые ими поля будут равными. Например, любой элементарный объём, в котором плотность не нуль, можно заменить на сферический слой конечного радиуса. Но это просто значит, что распределения плотности как-то делятся на классы эквивалентности. Это вовсе не значит, что два произвольно взятых распределения плотности окажутся в одном классе.

vornczo
Нет, это потенциал везде. Вот интеграл можно брать только по шару.

А вы можете пожалуйста пояснить или отправить к литературе откуда берется эта формула. И если есть две функции распределения плотности дающие одинаковый потенциал вне шара значит данный интеграл по объему шара для двух разных функций распределения плотности будет давать вне шара одинаковые ответы ?

[ewert]

Munin в сообщении #588587 писал(а):

Например, любой элементарный объём, в котором плотность не нуль, можно заменить на сферический слой конечного радиуса.

Нельзя: тот объём задаёт сферически асимметричный потенциал, а слой -- сферически симметричный.

И вообще: разве бывает такое, что не сферически симметричное распределение зарядов создавало бы вне области своего сосредоточения нулевое поле (или хотя бы сферически симметричное, что эквивалентно)?... Строго говоря, я не знаю; а говоря нестрого -- это выглядит неправдоподобно. Должна же быть на этот счёт какая-нибудь теорема; ну там насчёт мультипольных моментов, или ещё чего проще.

[Munin]

ewert в сообщении #588608 писал(а):

Нельзя: тот объём задаёт сферически асимметричный потенциал

Он элементарный, батенька. Для вас - дельта-функция.

ewert в сообщении #588608 писал(а):

И вообще: разве бывает такое, что не сферически симметричное распределение зарядов создавало бы вне области своего сосредоточения нулевое поле (или хотя бы сферически симметричное, что эквивалентно)?...

В теории тяготения, это не эквивалентно (и я не говорил, что класс эквивалентности для нулевого поля содержит более одного распределения зарядов). В электростатике - бывает. Возьмите произвольное несимметричное распределение зарядов, и окружите его проводящей оболочкой (хотя бы тоже несимметричной), заряженной с противоположным знаком. Гарантирую, снаружи оболочки поле будет нулевое.

ewert в сообщении #588608 писал(а):

Строго говоря, я не знаю; а говоря нестрого -- это выглядит неправдоподобно. Должна же быть на этот счёт какая-нибудь теорема; ну там насчёт мультипольных моментов, или ещё чего проще.

Интуиция вас подводит. Мультипольные моменты относятся к зарядам, сосредоточенным в одной точке, а если они в разных точках, то к мультипольным моментам всё не сводится.