Необходимо доказать следующие утверждение:
1)

Сначала думал по индукции. Для i=1 очевидно. А вот когда предположение индукции для i=n написано и (n+1)-е множество добавляю, происходит глубокое зависание. Как вывести из n-го шага (n+1)-й не знаю. Попробовал от противного: ну, пусть принадлежит какой-то х левой части и не принадлежит правой. Тогда верно одно и ровно одно из двух утверждений:

или

. А вот как связать это с правой частью пока не понял.
2) Если какое-то равенство, содержащее переменные-множества и операции объединения, пересечения и разности, неверно, то к нему можной найти контрпример, в котором все множества пусты или состоят из одного элемента.
Пусть

- данное неверное равенство.
И пусть набор множеств

- контрпимер к этому равенству. Первый вопрос, который у меня возник - по формулировке условия - "все множества или состоят из одного элемента" - это означает, что либо все множества одновременно пустые, либо все одновременно одноэлементны или что каждое пусто либо одноэлементно по отдельности?
Я исходил из второго вариант трактовки. И всё равно запутался.
Раз для множеств

исходное равенство не выполняется, то

, то есть

Но вот что делать дальше?! Если мы хотим, чтобы в контрпримере были одноэлементные множества логично выбрать этот элемент в одном из множеств

, но как? Если все C_{i} пусты, то утверждение доказано. Если есть хоть одно непустое, возьмём

. Тогда для всех множеств из набора

будет справедливо одно и только одно из двух соотношений:

. А вот как дальше доказывать - запутался.