Несколько задач по теории множеств

[Asker Tasker]

Но, например, как мы доказываем, что в левой части (которой х должен принадлежать) на последнем шаге не окажется разность двух множеств, содержащих х, ведь при рассмотрении элементарных связок такой вариант оказался возможным? Тогда получится, что левая часть является пустой.

Или почему в правой части не может оказаться объединение двух множеств, содержащих х? Ведь среди связок такой вариант тоже есть.

У меня была мысль по индукции как-то доказывать. Рассмотреть случай, когда участвует всего одна связка, предположить, что при количестве связок, меньшем чем n, утверждение справедливо и доказать справедливость для n+1, но где-то запутался. Видимо, у меня так до конца и не вышло связать одноэлементные/пустые множества с исходными...

-- 21.06.2012, 02:02 --

Если вкратце, то я не понял, как доказать переход:
$x \in S_{1} ( C_{1}; ...; C_{n} ) \Rightarrow x \in S_{1} ( C_{1}^{*}; ...; C_{n}^{*} ) $
Ведь среди элементарных связок возможны случаи, когда в результате применения операции получается пустое множество... Видимо, такой исход должен вступать в противоречие с предположением об иксе, но как доказать?!

[Dave]

Asker Tasker в сообщении #587458 писал(а):

Если вкратце, то я не понял, как доказать переход:
$x \in S_{1} ( C_{1}; ...; C_{n} ) \Rightarrow x \in S_{1} ( C_{1}^{*}; ...; C_{n}^{*} ) $
Ведь среди элементарных связок возможны случаи, когда в результате применения операции получается пустое множество... Видимо, такой исход должен вступать в противоречие с предположением об иксе, но как доказать?!

А эти рассуждения тогда для чего были?

Asker Tasker в сообщении #587437 писал(а):

Возможны три ситуации:
(1) х принадлежит обоим множествам сразу, тогда:
$ x \in C_{i}^{*} \rightarrow x \in C_{i} \\ x \in C_{j}^{*} \rightarrow x \in C_{j} \\ \begin{bmatrix} x \in C_{i}^{*} \bigcap C_{j}^{*} & x \in C_{i} \bigcap C_{j} \\ x \in C_{j}^{*} \bigcup C_{j}^{*} & x \in C_{j} \bigcup C_{j} \\ x \notin C_{i}^{*} \backslash C_{j}^{*} & x \notin C_{i} \backslash C_{j} \end{bmatrix} $

(2) x принадлежит только одному из двух множеств - например, $ C_{i} $, тогда:
$ x \in C_{i}^{*} \rightarrow x \in C_{i} \\ x \notin C_{j}^{*} \rightarrow x \notin C_{j} \\ \begin{bmatrix} x \notin C_{i}^{*} \bigcap C_{j}^{*} & x \notin C_{i} \bigcap C_{j} \\ x \in C_{j}^{*} \bigcup C_{j}^{*} & x \in C_{j} \bigcup C_{j} \\ x \in C_{i}^{*} \backslash C_{j}^{*} & x \in C_{i} \backslash C_{j} \end{bmatrix} $

(3) х не принадлежит ни одному из двух множеств, тогда:
$x \notin C_{i}^{*} \rightarrow x \notin C_{i} \\ x \notin C_{j}^{*} \rightarrow x \notin C_{j} \\ \begin{bmatrix} x \notin C_{i}^{*} \bigcap C_{j}^{*} & x \notin C_{i} \bigcap C_{j} \\ x \notin C_{j}^{*} \bigcup C_{j}^{*} & x \notin C_{j} \bigcup C_{j} \\ x \notin C_{i}^{*} \backslash C_{j}^{*} & x \notin C_{i} \backslash C_{j} \end{bmatrix} $

Asker Tasker в сообщении #587458 писал(а):

Но, например, как мы доказываем, что в левой части (которой х должен принадлежать) на последнем шаге не окажется разность двух множеств, содержащих х, ведь при рассмотрении элементарных связок такой вариант оказался возможным? Тогда получится, что левая часть является пустой.

Или почему в правой части не может оказаться объединение двух множеств, содержащих х? Ведь среди связок такой вариант тоже есть.

У меня была мысль по индукции как-то доказывать. Рассмотреть случай, когда участвует всего одна связка, предположить, что при количестве связок, меньшем чем n, утверждение справедливо и доказать справедливость для n+1, но где-то запутался. Видимо, у меня так до конца и не вышло связать одноэлементные/пустые множества с исходными...

Изучите пример, который я привёл выше, выбрав нужный $x$, и всё поймёте. А с индукцией - хорошая идея.

[Asker Tasker]

Да, невнимательность - мой порок, но я не знал, что настолько.
Это ж надо было, всё написать и так по-глупому зависнуть на самом очевидном месте..
Большое спасибо, Dave.

P.S.
Если будут ещё задачки (я надеюсь, что будут они посложнее и поинтереснее этой), глянете? )