Функционал на топологическом векторном

[xmaister]

Пусть $f$- линейный функционал на топологическом векторном пространстве $X$, не равный нулю тождественно. Предположим, что существует окрестность нуля $W\subset\operatorname{Ker}f$. Тогда, т.к. $X=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}nW$, то для любого $x\in X$ $f(x)=0$. Тогда получается, что $\operatorname{Ker}f$ нигде не плотно?

[Oleg Zubelevich]

ядро линейного функционала либо замкнуто либо плотно

[xmaister]

Если ядро плотно и $\operatorname{Ker}f\ne X$, то линейный функционал разрывен?

[muzeum]

xmaister в сообщении #584825 писал(а):

Если ядро плотно и $\operatorname{Ker}f\ne X$, то линейный функционал разрывен?

Ядро непрерывного функционала непременно замкнуто, не только для ТВП, но и для произвольного топ. пр-ва Х, если под ядром понимать прообраз нуля или другого замкнутого множества.