Квадраты и простое число, можно ли так решать?

[Ktina]

Натуральное число $n$ таково, что числа $2n+1$ и $3n+1$ являются квадратами. Может ли при этом число $5n+3$ быть простым?

Я рассуждала так:

(Попытка)

Если $2n+1$ - квадрат, то и $8n+4$ - квадрат. Но поскольку $3n+1$ - тоже квадрат, число $(8n+4)-(3n+1)=5n+3$ является разностью квадратов. Если эта разность простая, то она является разностью двух последовательных квадратов. Что мы имеем? Два последовательных квадрата, один из которых имеет вид $3n+1$, а другой - $8n+4$, иными словами, превышает первый более, чем вдвое. Если один из последовательных квадратов более, чем вдвое превышает другой, то это могут быть либо 0 и 1, либо 1 и 4, либо 4 и 9. Левая и правая пары не годятся, так как числа 1 и 9 - нечётны, а значит, не могут иметь вид $8n+4$. Пара $(1, 4)$ вроде бы подходит, но если $3n+1=1,\quad 8n+4=4$, то $n$ равно нулю (а по условию должно быть натуральным). Пришли к противоречию, значит $5n+3$ не может быть простым.

Можно ли так решать?
Официальное решение немного отличается: http://www.problems.ru/view_problem_det ... ?id=109521

[nnosipov]

Ktina в сообщении #583526 писал(а):

Можно ли так решать?

Да, вполне.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #583527 писал(а):

Ktina в сообщении #583526 писал(а):

Можно ли так решать?

Да, вполне.

Но у них - в две строчки, а у меня - целая "Война и Мир"

[devgen]

А почему нельзя было после "а это разность квадратов" сразу сказать, что существует разложение на множители (по формуле сокращенного умножения)? Остается только проверить случаи, когда один из множителей единица и всё.