Проверьте(подскажите) пару задач.

[ZARATUSTRA]

Привет. За лето попробую подготовиться к школьной и районной олимпиаде по математике. Дело в том, что школьное решаю всё, но вот с олимпиадными заданиями бывают проблемы. Особенно трудно даются задания, где нужно что-то доказать, ибо такого на уроках не решаем и даже не знаю за что взяться.

Пока решаю задачи из "Как решают нестандартные задачи. Каннель-Белов, Ковальджи"
Сейчас запишу то, что решил, а что нет. Было бы отлично, если бы кто-нибудь проверил: правильно ли, что нужно в решение изменить, как можно быстрее и так далее. Некоторые задачи легкие и для меня, но меня интересует сама правильнасть рассуждений.

1. Легко распилить кубик $3$×$3$×$3$ на $27$ кубиков шестью распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если разрешается перекладывать части перед тем как их пилить?

Решение: Наш куб состоит из 27 единичных кубиков. Чтобы распилить куб на его единичные составляющие, нужно совершить все уникальные прямые распилы. Их будет $(a-1)\cdot3$, где $a$ - габариты куба. В нашем случае таких линий будет 6.
Нельзя уменьшить кол-во распилов, перекладывая части, ибо от этого уникальных линий не может стать меньше.
P.S. Нужно ли обосновывать вот этот момент: $(a-1)\cdot3$ ?

2. Докажите, что в выпуклом n-угольнике сумма внутренних углов равна $180◦(n − 2)$

Решение: Рассмотрим выпуклый многоугольник. Соединим произвольную вершину со всеми остальными поочередно прямыми линиями. Получится $(n-2)$ треугольников, где $n$ - кол-во сторон, которые не имеют общих углов и покрывают весь многоугольник. Следовательно сумма углов выпуклого многоугольника равна $180◦(n − 2)$.
P.S. Опять же нужно ли обосновывать момент с $(n-2)$ ?
3. Докажите, что $n(n + 1)(n + 2)$ делится на $6$ при любом целом $n$.

Решение: Легко заметить, что данное выражение есть произведение трех последовательных чисел, среди которых есть $2$, либо число, кратное $2$; $3$, либо число, кратное $3$; Исходя из свойст делимости на 6 можно утверждать, что данное выражение делится на $6$.

4. Решите уравнение $(x^2+x-3)^2+2x^2+2x-5=0$

Решение:
заменим $x^2+x = t$.
$(t-3)^2+2t-5=0, t^2-4t+4=0$.
$t=2$. $x=1$.

5. I 1. В кладовой лежат $300$ сапог: $100$ хромовых, $100$ кирзовых и $100$ яловых, причём левых и правых поровну - по $150$.
Докажите, что из имеющихся сапог можно составить по крайней мере $50$ пар.

Решение: Тут не знаю как доказывать. Вот только до чего дошёл:
Может быть $2$ слуачая: либо кол-во правых(левых) сапог распределяется на $2$ вида - например на $100$ сапог одного вида и $50$ другого. И второй случай: распределение правых(левых) сапог на все три вида. Рассмотрим второй случай.
Пусть $L_1, L_2, L_3$ - распределение левых сапог на 3 вида сапог соответственно. $R_1, R_2, R_3$ - распределение правых сапог. Тогда имеют место быть равенства:
$(100-L_1)=R_1, (100-L_2)=R_2, (100-L_3)=R_3$
$L_1+L_2+L_3=R_1+R_2+R_3=150$
Если $L_x>P_x$, то пар сапог данного вида $=P_x$
Если $L_x<P_x$, то пар сапог данного вида $= L_x$
Если $L_x=P_x$, то пар сапог данного вид $=L_x=R_x$
6. Из бумажного параллелограмма вырезали треугольник. Докажите, что его площадь не превосходит половины площади параллелограмма.
Решение: Достаточно рассмотреть случай, когда треугольник будет максимальной площади. Такое возможно только ли при разделение параллелограмма его диагональю. По формулам площади параллелограмма и треугольника заметно, что в данном случае площадь треугольника равно полу-площади параллелограмма.
P.S. Такого док-ва достаточно?
P.S. Когда будет накапливаться 5-6 задач, по которым будут вопросы, то писать в эту тему или создавать новую?

[Toucan]

(Оффтоп)

ZARATUSTRA в сообщении #583338 писал(а):

Когда будет накапливаться 5-6 задач, по которым будут вопросы, то писать в эту тему или создавать новую?

Лучше всего под каждую задачу создавать новую тему.

[ZARATUSTRA]

Toucan в сообщении #583342 писал(а):

(Оффтоп)

ZARATUSTRA в сообщении #583338 писал(а):

Когда будет накапливаться 5-6 задач, по которым будут вопросы, то писать в эту тему или создавать новую?

Лучше всего под каждую задачу создавать новую тему.

(Оффтоп)

Они тут достаточно легкие для большинства и думается, что не следует выделять каждую в одну тему. Или даже если они простые(не для меня, а для большинства здешних завсегдатаев), то всё равно выделять в отдельную тему? Я каждый день буду разбирать по 5-6 задач - создавать по 5-6 разных тем, или в одну всё-таки? Спасибо.

[Tanechka]

1. Уточните понятие "уникальные разрезы"
2. Здесь правильно, только желательно уточнить, почему образуется именно $n-2$ треугольника, мало ли к чему жюри может придраться... а ещё нужно дописать условие - там не $180$, а $180(n-2)$
3. Здесь всё правильно... только 2 и так кратно 2, и 3 кратно трём, могли уже это и не писать
4. Один корень пропустили. Внимательнее решите квадратное уравнение с $x$
6. А докажите, что он максимальной площади. Всем интуитивно понятно, что это так, а вот доказать)...

Хорошо, давайте разбираться с задачей 5. Вот расположим мы сапоги:
$L_1 -- R_1$
$L_2 -- R_2$
$L_3 -- R_3$
Сумма элементов в каждом столбике равна 150 (по условию).
Без ограничения общности будем считать, что минимумами являются $L_1, L_2, R_3$.
А теперь поменяйте R_3 и L_3 местами и скажите, на сколько поменяется сумма элементов в столбиках?

[ZARATUSTRA]

Tanechka в сообщении #583372 писал(а):

1. Уточните понятие "уникальные разрезы"
2. Здесь правильно, только желательно уточнить, почему образуется именно $n-2$ треугольника, мало ли к чему жюри может придраться... а ещё нужно дописать условие - там не $180$, а $180(n-2)$
3. Здесь всё правильно... только 2 и так кратно 2, и 3 кратно трём, могли уже это и не писать
4. Один корень пропустили. Внимательнее решите квадратное уравнение с $x$
6. А докажите, что он максимальной площади. Всем интуитивно понятно, что это так, а вот доказать)...

Хорошо, давайте разбираться с задачей 5. Вот расположим мы сапоги:
$L_1 -- R_1$
$L_2 -- R_2$
$L_3 -- R_3$
Сумма элементов в каждом столбике равна 150 (по условию).
Без ограничения общности будем считать, что минимумами являются $L_1, L_2, R_3$.
А теперь поменяйте R_3 и L_3 местами и скажите, на сколько поменяется сумма элементов в столбиках?

Спасибо.
1. Рассмотрим куб $2$x$2$. Рассмотрим боковую грань. Вертикальный и горизонтальный разрез - уникальные. Теперь рассмотрим верхнюю грань куба. Там останется только один уникальный разрез, ибо второй уже использовался при рассмотрении боковой грани, когда говорилось про вертикальный разрез.
2. Да, формула не дописалась. А как объяснить? Интуитивно-то понятно, но как понятно объяснить?)
4. $-2$ пропустил.
5. А как доказать? Через производные что ли?
6. На $L_3-R_3$. И?

[Tanechka]

1. Я тогда не совсем понимаю это решение.
2. Ясно, что если из одной вершины многоугольника провести $n$ линий, то фигура разрежется на $n+1$ многоугольников. Вот и докажите, что разрезов будет $n-3$ штуки)
6. А как вообще можно порезать параллелограмм, чтобы получился треугольник.

5. Скажите, какое минимальное значение примет сумма элементов левого столбика? И каким чудесным свойством обладают теперь элементы этого столбика?

[ZARATUSTRA]

Tanechka в сообщении #583388 писал(а):

1. Я тогда не совсем понимаю это решение.
2. Ясно, что если из одной вершины многоугольника провести $n$ линий, то фигура разрежется на $n+1$ многоугольников. Вот и докажите, что разрезов будет $n-3$ штуки)
6. А как вообще можно порезать параллелограмм, чтобы получился треугольник.

5. Скажите, какое минимальное значение примет сумма элементов левого столбика? И каким чудесным свойством обладают теперь элементы этого столбика?

5. Понятно, 50.
1. Ну я вывел формулы, которая высчитывает минимальное количество распилов, чтобы разделить куб на его единичные составляющие. Получается 6 распилов. По-другому попробую объяснить: Рассмотрим 3 соседние грани: на первой сделаем все горизонтальные распилы, на второй - вертикальные, на третей(верхней) - недостающие. Ну и я утверждаю, что от перестановок куба в процессе распилки кол-во распилов не уменьшится. Только вот нужно ли доказывать мою формулу?
2. Разрезов будет $n-3$ штуки. 3 - это сама вершина и соседние.
6. Вырезать можно какой угодно треугольник, но чтобы была площадь максимально большой, нужно чтобы стороны были максимально большими, а они не могут быть больше сторон и диагонали параллелограмма. Правильно?

[Tanechka]

2. Всё, теперь доказательство (как я считаю) полное
6. Из того, что стороны треугольника больше, не следует то, что его площадь тоже больше. Вы лучше скажите: разве при любом разрезе от параллелограмма отламывается треугольник?
5. Ну да, т. е. сумма минимальная 50, а эти элементы - это как раз число пар обуви.

[ZARATUSTRA]

Tanechka в сообщении #583409 писал(а):

2. Всё, теперь доказательство (как я считаю) полное
6. Из того, что стороны треугольника больше, не следует то, что его площадь тоже больше. Вы лучше скажите: разве при любом разрезе от параллелограмма отламывается треугольник?
5. Ну да, т. е. сумма минимальная 50, а эти элементы - это как раз число пар обуви.

6. Так там не разрезать, а вырезать.

[Tanechka]

ZARATUSTRA, ну вырезать...

[ZARATUSTRA]

Tanechka в сообщении #583415 писал(а):

ZARATUSTRA, ну вырезать...

так вырезать любой можно вроде как.

[Tanechka]

ZARATUSTRA, не, вы не поняли... ладно, пойдём немного другим путём: просто узнайте, какая наибольшая высота и основание могут быть, а из этого и площадь максимальную найти нетрудно.

[ZARATUSTRA]

Tanechka в сообщении #583420 писал(а):

ZARATUSTRA, не, вы не поняли... ладно, пойдём немного другим путём: просто узнайте, какая наибольшая высота и основание могут быть, а из этого и площадь максимальную найти нетрудно.

Ясно. Передохну пожалуй, а то уже 6 часов знакомлюсь со спецификой олимпиадных задач. Правда в классе 4 занимал первые места, но там нужна была просто логика, а не знание каких-либо алгоритмов.
Спасибо.

[мат-ламер]

ZARATUSTRA в сообщении #583338 писал(а):

2. Докажите, что в выпуклом n-угольнике сумма внутренних углов равна 180

180 чего - градусов? Как-то я сомневаюсь.

-- Пн июн 11, 2012 20:21:42 --

Там дальше в решении появляется множитель $n-2$.

-- Пн июн 11, 2012 20:24:19 --

Извиняюсь, в пятом посту исправлена эта ошибка.

-- Пн июн 11, 2012 20:27:59 --

По поводу первой задачи. Надо конкретно рассмотреть центральный кубик.

[ZARATUSTRA]

мат-ламер в сообщении #583514 писал(а):

ZARATUSTRA в сообщении #583338 писал(а):

2. Докажите, что в выпуклом n-угольнике сумма внутренних углов равна 180

180 чего - градусов? Как-то я сомневаюсь.

-- Пн июн 11, 2012 20:21:42 --

Там дальше в решении появляется множитель $n-2$.

-- Пн июн 11, 2012 20:24:19 --

Извиняюсь, в пятом посту исправлена эта ошибка.

-- Пн июн 11, 2012 20:27:59 --

По поводу первой задачи. Надо конкретно рассмотреть центральный кубик.

По поводу центрального кубика: а если бы габариты были другими?