Привет. За лето попробую подготовиться к школьной и районной олимпиаде по математике. Дело в том, что школьное решаю всё, но вот с олимпиадными заданиями бывают проблемы. Особенно трудно даются задания, где нужно что-то доказать, ибо такого на уроках не решаем и даже не знаю за что взяться.
Пока решаю задачи из "Как решают нестандартные задачи. Каннель-Белов, Ковальджи"
Сейчас запишу то, что решил, а что нет. Было бы отлично, если бы кто-нибудь проверил: правильно ли, что нужно в решение изменить, как можно быстрее и так далее. Некоторые задачи легкие и для меня, но
меня интересует сама правильнасть рассуждений.
1. Легко распилить кубик
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
×
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
×
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
на
![$27$ $27$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/3/2b3b6d915c91f4f0ce9257367e7a55ff82.png)
кубиков шестью распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если разрешается перекладывать части перед тем как их пилить?
Решение: Наш куб состоит из 27 единичных кубиков. Чтобы распилить куб на его единичные составляющие, нужно совершить все уникальные прямые распилы. Их будет
![$(a-1)\cdot3$ $(a-1)\cdot3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/e/3cef50881c4b3b31547e9039e65aad2082.png)
, где
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
- габариты куба. В нашем случае таких линий будет 6.
Нельзя уменьшить кол-во распилов, перекладывая части, ибо от этого уникальных линий не может стать меньше.
P.S. Нужно ли обосновывать вот этот момент:
![$(a-1)\cdot3$ $(a-1)\cdot3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/e/3cef50881c4b3b31547e9039e65aad2082.png)
?
2. Докажите, что в выпуклом n-угольнике сумма внутренних углов равна
Решение: Рассмотрим выпуклый многоугольник. Соединим произвольную вершину со всеми остальными поочередно прямыми линиями. Получится
![$(n-2)$ $(n-2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/4/7d4bc35ba8befb1540d0f7bf2fe2af0b82.png)
треугольников, где
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
- кол-во сторон, которые не имеют общих углов и покрывают весь многоугольник. Следовательно сумма углов выпуклого многоугольника равна
![$180◦(n − 2)$ $180◦(n − 2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/1/d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e82.png)
.
P.S. Опять же нужно ли обосновывать момент с
![$(n-2)$ $(n-2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/4/7d4bc35ba8befb1540d0f7bf2fe2af0b82.png)
?
3. Докажите, что
![$n(n + 1)(n + 2)$ $n(n + 1)(n + 2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/9/5f9159a3324ec500036fa36a85a0c72582.png)
делится на
![$6$ $6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/7/327c36301dc71617dc7032f8ce30b23682.png)
при любом целом
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
.
Решение: Легко заметить, что данное выражение есть произведение трех последовательных чисел, среди которых есть
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
, либо число, кратное
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
;
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, либо число, кратное
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
; Исходя из свойст делимости на 6 можно утверждать, что данное выражение делится на
![$6$ $6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/7/327c36301dc71617dc7032f8ce30b23682.png)
.
4. Решите уравнение
Решение: заменим
![$x^2+x = t$ $x^2+x = t$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/6/a76ec1e836149daa8dacd2a0fc57ce1682.png)
.
![$(t-3)^2+2t-5=0, t^2-4t+4=0$ $(t-3)^2+2t-5=0, t^2-4t+4=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/1/ca18da3b4efeeefa1a39f8f22023da0d82.png)
.
![$t=2$ $t=2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/d/3fd7dc35965ef9d0369e530bcccf533b82.png)
.
![$x=1$ $x=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/1/f41f51aeb9528548f1409a3a0ec6164082.png)
.
5. I 1. В кладовой лежат
![$300$ $300$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/5/8e50ca67ab54ff4995e89c8b74040b1182.png)
сапог:
![$100$ $100$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/3/68399e6e2d2d99a90a9e8395f7dc1f1182.png)
хромовых,
![$100$ $100$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/3/68399e6e2d2d99a90a9e8395f7dc1f1182.png)
кирзовых и
![$100$ $100$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/3/68399e6e2d2d99a90a9e8395f7dc1f1182.png)
яловых, причём левых и правых поровну - по
![$150$ $150$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/1/bd1fb3465611da03e7c82e6afc4d426f82.png)
.
Докажите, что из имеющихся сапог можно составить по крайней мере
![$50$ $50$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/c/c2c335262ba713d0601ec6d6d01cc10282.png)
пар.
Решение: Тут не знаю как доказывать. Вот только до чего дошёл:
Может быть
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
слуачая: либо кол-во правых(левых) сапог распределяется на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
вида - например на
![$100$ $100$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/3/68399e6e2d2d99a90a9e8395f7dc1f1182.png)
сапог одного вида и
![$50$ $50$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/c/c2c335262ba713d0601ec6d6d01cc10282.png)
другого. И второй случай: распределение правых(левых) сапог на все три вида. Рассмотрим второй случай.
Пусть
![$L_1, L_2, L_3$ $L_1, L_2, L_3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/6/cd6144dd574b80f6514233d5155c7dfe82.png)
- распределение левых сапог на 3 вида сапог соответственно.
![$R_1, R_2, R_3$ $R_1, R_2, R_3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/5/b85264aa8eabdbc7a0eedfd78f3146d382.png)
- распределение правых сапог. Тогда имеют место быть равенства:
![$(100-L_1)=R_1, (100-L_2)=R_2, (100-L_3)=R_3$ $(100-L_1)=R_1, (100-L_2)=R_2, (100-L_3)=R_3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/5/d55316b37cb8021823f472e60ec1490882.png)
Если
![$L_x>P_x$ $L_x>P_x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/d/79d81c97983e9bf62f04ada016d653ca82.png)
, то пар сапог данного вида
Если
![$L_x<P_x$ $L_x<P_x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/7/287dc34f8fa1fc1642c46dd84d2c2c9a82.png)
, то пар сапог данного вида
![$= L_x$ $= L_x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/8/168a7a1ed87d242944780e31eefd43ea82.png)
Если
![$L_x=P_x$ $L_x=P_x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/1/5f1a67917d4e254adba1370137e5f56682.png)
, то пар сапог данного вид
6. Из бумажного параллелограмма вырезали треугольник. Докажите, что его площадь не превосходит половины площади параллелограмма.
Решение: Достаточно рассмотреть случай, когда треугольник будет максимальной площади. Такое возможно только ли при разделение параллелограмма его диагональю. По формулам площади параллелограмма и треугольника заметно, что в данном случае площадь треугольника равно полу-площади параллелограмма.
P.S. Такого док-ва достаточно?
P.S. Когда будет накапливаться 5-6 задач, по которым будут вопросы, то писать в эту тему или создавать новую?