комплексные переменные

[igor520]

Функция $f(z)$ аналитична на всей комплексной плоскости, за исключением точки $z=2$, в которой она имеет полюс порядка 3, причем
$\lim_{x\to\infty}f(z)=5$
$\operatorname{Res}_{z=2}((z^2-3z+3)f(z))=3$
найти $f(3)$

попытка решения - записать $h(z)=(z^2-3z+3)f(z)$, тогда $f(3)=h(3)/3$, а $h(3)$ выражается через интегральную формулу Коши
но как применить условия $\lim_{x\to\infty}f(z)=5$ ; $\operatorname{Res}_{z=2}((z^2-3z+3)f(z))=3$ ?

[igor520]

поскольку $f(z)$ ограничена на бесконечности, то у нее не будет положительной части ряда Лорана, а коэффициент $a_0$ будет равен 5
также, в отрицательной части, у нее не может быть степеней ниже -3
если представить $f(x)$ в виде ряда Лорана со степенями от -3 до 0, то получается ответ - 8
но я не уверен, что это правильный путь решения

[tavrik]

скажите, тёзка, а икс там случайно?
должен быть предел для $z$? или условия именно такие?

[ewert]

igor520 в сообщении #583450 писал(а):

если представить $f(x)$ в виде ряда Лорана со степенями от -3 до 0, то получается ответ - 8
но я не уверен, что это правильный путь решения

Нет, он правильный. Дело в том, что задача выглядит явно недоопределённой: неизвестных коэффициентов Лорана три, а условие (на вычет) только одно. Однако конкретно тут нечаянно так выходит, что и вычет равен сумме коэффициентов, и значение суммы обратных степеней в требуемой точке -- тоже. Естественно, ни из каких общих соображений это "случайное" совпадение не вытянешь.

[igor520]

ок, спасибо!