2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 комплексные переменные
Сообщение11.06.2012, 10:59 
Аватара пользователя
Функция $f(z)$ аналитична на всей комплексной плоскости, за исключением точки $z=2$, в которой она имеет полюс порядка 3, причем
$\lim_{x\to\infty}f(z)=5$
$\operatorname{Res}_{z=2}((z^2-3z+3)f(z))=3$
найти $f(3)$

попытка решения - записать $h(z)=(z^2-3z+3)f(z)$, тогда $f(3)=h(3)/3$, а $h(3)$ выражается через интегральную формулу Коши
но как применить условия $\lim_{x\to\infty}f(z)=5$ ; $\operatorname{Res}_{z=2}((z^2-3z+3)f(z))=3$ ?

 
 
 
 Re: комплексные переменные
Сообщение11.06.2012, 16:08 
Аватара пользователя
поскольку $f(z)$ ограничена на бесконечности, то у нее не будет положительной части ряда Лорана, а коэффициент $a_0$ будет равен 5
также, в отрицательной части, у нее не может быть степеней ниже -3
если представить $f(x)$ в виде ряда Лорана со степенями от -3 до 0, то получается ответ - 8
но я не уверен, что это правильный путь решения

 
 
 
 Re: комплексные переменные
Сообщение12.06.2012, 09:18 
Аватара пользователя
скажите, тёзка, а икс там случайно?
должен быть предел для $z$? или условия именно такие?

 
 
 
 Re: комплексные переменные
Сообщение12.06.2012, 10:35 
igor520 в сообщении #583450 писал(а):
если представить $f(x)$ в виде ряда Лорана со степенями от -3 до 0, то получается ответ - 8
но я не уверен, что это правильный путь решения

Нет, он правильный. Дело в том, что задача выглядит явно недоопределённой: неизвестных коэффициентов Лорана три, а условие (на вычет) только одно. Однако конкретно тут нечаянно так выходит, что и вычет равен сумме коэффициентов, и значение суммы обратных степеней в требуемой точке -- тоже. Естественно, ни из каких общих соображений это "случайное" совпадение не вытянешь.

 
 
 
 Re: комплексные переменные
Сообщение13.06.2012, 11:16 
Аватара пользователя
ок, спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group