2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?
Сообщение06.06.2012, 11:14 
Если $X$ --- замкнутое, ограниченное, выпуклое множество в рефлексивном банаховом пространстве (например, в гильбертовом), следует ли отсюда, что $X$ слабо замкнуто?

 
 
 
 Re: Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?
Сообщение06.06.2012, 11:53 
Ну да. Причем ограниченность не нужна. Скорее всего, даже рефлексивность не нужна, достаточно выпуклости и замкнутости.

 
 
 
 Re: Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?
Сообщение06.06.2012, 12:02 
Ничего себе, откуда это следует?

 
 
 
 Re: Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?
Сообщение06.06.2012, 12:17 
Это теорема кого-то там. Не Банаха, но тоже кого-то из великих.
Смотрите, компактное и замкнутое выпуклые множества можно строго отделить функционалом. Значит ваше множество можно строго отделить от точки, не лежащей в множестве (так как одноточечное - компакт). А значит, для любой точки, не лежащей в множестве, существует слабая окрестность, также не лежащая в множестве. Значит, дополнение слабо открыто.

 
 
 
 Re: Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?
Сообщение06.06.2012, 13:17 
Nemiroff уже все объяснил, но все же Канторович, Акилов Функцинальный анализ гл. III, $\S$3, теорема 2.

 
 
 
 Re: Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?
Сообщение06.06.2012, 14:15 
Спасибо, очень благодарен.

 
 
 
 Re: Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?
Сообщение07.06.2012, 12:29 
А можно что-нибудь сказать про слабую* замкнутость такого множества?

 
 
 
 Re: Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?
Сообщение07.06.2012, 21:16 
Если вы говорите о слабой* замкнутости, то вопрос имеет смысл только для множеств в сопряженном пространстве.
Сформулируйте поточнее вопрос.

 
 
 
 Re: Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?
Сообщение07.06.2012, 21:28 
Пожалуйста, $X$ --- сопряжённое к нормированному пространству. $M$ --- выпуклое подмножество $X$. Совпадают ли его слабое и слабое* замыкания?

 
 
 
 Re: Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?
Сообщение07.06.2012, 22:03 
По теореме Мазура (геометрическая форма теоремы Хана-Банаха) для выпуклого множества в топологическом векторном пространстве его слабое замыкание совпадает с замыканием. Поэтому нет смысла говорить о слабом замыкании множества $M$. Т.о. нет смысла спрашивать о совпадении слабого и слабого* замыканий, а есть смысл спрашивать о совпадении замыкания и слабого* замыкания.

Для полурефлексивного пространства (это когда второе сопряженное как векторное пространство совпадает с самим пространством) слабая и слабая* топологии на сопряженном пространстве совпадают. Поэтому и на ваш вопрос ответ положительный.

Если же $X^{**}\ne X$ (т.е. $X$ не полурефлексивное), то для произвольного $x^{**}\in  X^{**}\setminus X$ его ядро слабо* замкнуто, но не замкнуто.

 
 
 
 Re: Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?
Сообщение07.06.2012, 22:08 
lyuk в сообщении #582060 писал(а):
Если же $X^{**}\ne X$ (т.е. $X$ не полурефлексивное), то для произвольного $x^{**}\in X^{**}\setminus X$ его ядро слабо* замкнуто, но не замкнуто.

а как ядро непрерывного функционала может не быть замкнуто?

 
 
 
 Re: Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?
Сообщение07.06.2012, 22:29 
Ядро функционала $x^{**}\in X^{**}\setminus X$ -- замкнуто, но не слабо* замкнуто.

 
 
 
 Re: Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?
Сообщение07.06.2012, 22:34 
Спасибо! А не подскажете где найти хоть какой-нибудь список полурефлексивных пространств? Или можно как-то легко проверять это? Например, интересует, будет ли таковым $C^{*}[0,1] = BV[0,1]$. Рефлексивным оно, понятно, не будет.

 
 
 
 Re: Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?
Сообщение07.06.2012, 22:56 
Можна посмотреть критерий полурефлексивности. Например, Х.Шефер ТВП (с.183).

Точнее, если у вас множество в пространстве $C^*[0,1]$, то нужна полурефлексивность $C[0,1]$. Сопряженные пространства поищите в Р.Эдвардс ФА.

 
 
 
 Re: Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?
Сообщение07.06.2012, 22:58 
Спасибо за ссылки.

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group