Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?

[Oleg Zubelevich]

lyuk в сообщении #582065 писал(а):

Ядро функционала $x^{**}\in X^{**}\setminus X$ -- замкнуто, но не слабо* замкнуто.

а почему?

[lyuk]

Поскольку $x^{**}$ непрерывный функционал на $X^{*}$, то его ядро -- замкнутое множество.

Слабая* замкнутость ядра такого функционала означает его слабую* непрерывность, т.е. непрерывность относительно слабой топологии $\sigma(X^{*},X)$. Это, в свою очередь, означает, что существует $x\in X$, которое порождает функционал $x^{**}$.

[Nimza]

lyuk
$C[0,1]$ оказалось неполурефлексивным. Из полурефлексивности нормированного пространства следует, что оно банахово и рефлексивно. Фигово.

[lyuk]

Нет "фиговых" математических фактов. Есть только правильные и неправильные. Все правильные факты -- красивые.

А если случилось так, что какой-то факт перечеркнул ваши надежды на доказательство чего-то большего, то в этом есть два положительных момента. Первый -- вы узнали что-то новое. Второй -- вам предстоит придумать другой подход, а значит, сделать для себя новое открытие.