Разрешимость уравнения (УМФ)

[Leon7Archer]

Добрый день!
Была поставлена следующая задача:
Доказать, что уравнение $x y' = f$ разрешимо для любой обобщенной функции $f$ (подразумевается обобщенная функция в смысле Шварца).

Была использована следующая схема:
Если построить общее решение уравнения, то автоматически получим существование.
Общее решение уравнения представимо в виде суммы:

$$y = y_{gnr} + y_0$$

где $y_{gnr}$ - общее решение уравнения $x y' = 0$, $y_0$ - частное решение уравнения $x y' = f$
Известно, что:

$$y_{gnr} = c_1 + c_2 \theta(x)$$

где $\theta(x)$ - функция Хевисайда, $c_1$, $c_2$ - произвольные константы (строго говоря, это не совсем обобщенная функция, а основная, определяющая регулярную обобщенную)

А вот с нахождением частного решения $y_0$ возникают проблемы. Если предполагать, что $f$ - регулярная обобщенная функция, можно найти классическое частное решение в виде регулярной обобщенной функции, определенное основной функцией:

$$y_0 = \int\limits_0^x \frac{f(\xi)}{\xi}\,d\xi$$

Но что делать в случае сингулярной $f$?

Заранее благодарен

[Oleg Zubelevich]

наверное придется повозиться. Рассмотреть последовательность $f_n\to f$ в $\mathcal{D}',\quad f_n\in\mathcal {D}$ Решить уравнение $xy_n'=f_n$ . И с явными формулами в руках доказывать что последовательность $y_n$ сходится в $\mathcal{D}'$

[Vince Diesel]

Leon7Archer в сообщении #581128 писал(а):

Если предполагать, что $f$ - регулярная обобщенная функция, можно найти классическое частное решение в виде регулярной обобщенной функции, определенное основной функцией:

$$y_0 = \int\limits_0^x \frac{f(\xi)}{\xi}\,d\xi$$

Почему? Если взять, скажем $f\equiv1$, то какую функцию это определяет?

[Oleg Zubelevich]

можно проще, исходная задача эквивалентна вот такой:
$-(y,\phi')=(f,\frac{\phi-\phi(0)}{x}),\quad \phi\in\mathcal{D}$.

[Leon7Archer]

Oleg Zubelevich в сообщении #581343 писал(а):

можно проще, исходная задача эквивалентна вот такой:
$-(y,\phi')=(f,\frac{\phi-\phi(0)}{x}),\quad \phi\in\mathcal{D}$.

Понятно, только откуда взялось $\phi(0)$?
А если продолжать рассуждения, то получаем:

$$(y, \phi') = -(f, \phi'(x^*)) = -(f(x), \phi'(x - (x - x^*))) =$$ $$= -(f(x + (x - x^*)), \phi'(x)) = (-f(2 x - x^*), \phi')$$

где $x^*$ - некоторая точка
Можно ли теперь говорить, что $y = -f(2 x - x^*)$?

-- 06.06.2012, 20:52 --

Vince Diesel
Да, Вы правы, здесь локальная суммируемость нарушается.

[Oleg Zubelevich]

зададим обобщенную функцию $g$ следующим образом $(g,\phi)=(f,\frac{\phi-\phi(0)}{x})$. Тогда $y$ это первообразная функции $g$. Первообразная существует в силу стандартной теоремы. Додумывайте все это. То, что Вы там пишите это ахинея.

[Leon7Archer]

Oleg Zubelevich
Весьма признателен за помощь!