2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Разрешимость уравнения (УМФ)
Сообщение05.06.2012, 15:09 
Добрый день!
Была поставлена следующая задача:
Доказать, что уравнение $x y' = f$ разрешимо для любой обобщенной функции $f$ (подразумевается обобщенная функция в смысле Шварца).

Была использована следующая схема:
Если построить общее решение уравнения, то автоматически получим существование.
Общее решение уравнения представимо в виде суммы:
$$y = y_{gnr} + y_0$$
где $y_{gnr}$ - общее решение уравнения $x y' = 0$, $y_0$ - частное решение уравнения $x y' = f$
Известно, что:
$$y_{gnr} = c_1 + c_2 \theta(x)$$
где $\theta(x)$ - функция Хевисайда, $c_1$, $c_2$ - произвольные константы (строго говоря, это не совсем обобщенная функция, а основная, определяющая регулярную обобщенную)

А вот с нахождением частного решения $y_0$ возникают проблемы. Если предполагать, что $f$ - регулярная обобщенная функция, можно найти классическое частное решение в виде регулярной обобщенной функции, определенное основной функцией:
$$y_0 = \int\limits_0^x \frac{f(\xi)}{\xi}\,d\xi$$

Но что делать в случае сингулярной $f$?

Заранее благодарен

 
 
 
 Re: Разрешимость уравнения (УМФ)
Сообщение05.06.2012, 18:50 
наверное придется повозиться. Рассмотреть последовательность $f_n\to f$ в $\mathcal{D}',\quad f_n\in\mathcal {D}$ Решить уравнение $xy_n'=f_n$ . И с явными формулами в руках доказывать что последовательность $y_n$ сходится в $\mathcal{D}'$

 
 
 
 Re: Разрешимость уравнения (УМФ)
Сообщение05.06.2012, 22:28 
Leon7Archer в сообщении #581128 писал(а):
Если предполагать, что $f$ - регулярная обобщенная функция, можно найти классическое частное решение в виде регулярной обобщенной функции, определенное основной функцией:
$$y_0 = \int\limits_0^x \frac{f(\xi)}{\xi}\,d\xi$$

Почему? Если взять, скажем $f\equiv1$, то какую функцию это определяет?

 
 
 
 Re: Разрешимость уравнения (УМФ)
Сообщение06.06.2012, 00:28 
можно проще, исходная задача эквивалентна вот такой:
$-(y,\phi')=(f,\frac{\phi-\phi(0)}{x}),\quad \phi\in\mathcal{D}$.

 
 
 
 Re: Разрешимость уравнения (УМФ)
Сообщение06.06.2012, 17:51 
Oleg Zubelevich в сообщении #581343 писал(а):
можно проще, исходная задача эквивалентна вот такой:
$-(y,\phi')=(f,\frac{\phi-\phi(0)}{x}),\quad \phi\in\mathcal{D}$.


Понятно, только откуда взялось $\phi(0)$?
А если продолжать рассуждения, то получаем:
$$(y, \phi') = -(f, \phi'(x^*)) = -(f(x), \phi'(x - (x - x^*))) =$$
$$= -(f(x + (x - x^*)), \phi'(x)) = (-f(2 x - x^*), \phi')$$
где $x^*$ - некоторая точка
Можно ли теперь говорить, что $y = -f(2 x - x^*)$?

-- 06.06.2012, 20:52 --

Vince Diesel
Да, Вы правы, здесь локальная суммируемость нарушается.

 
 
 
 Re: Разрешимость уравнения (УМФ)
Сообщение06.06.2012, 18:03 
зададим обобщенную функцию $g$ следующим образом $(g,\phi)=(f,\frac{\phi-\phi(0)}{x})$. Тогда $y$ это первообразная функции $g$. Первообразная существует в силу стандартной теоремы. Додумывайте все это. То, что Вы там пишите это ахинея.

 
 
 
 Re: Разрешимость уравнения (УМФ)
Сообщение07.06.2012, 14:11 
Oleg Zubelevich
Весьма признателен за помощь!

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group