Два уравнения с четырьмя неизвестными. Сколько решений ?

[bot]

Зачем мудрить? Всё ведь очевидно.

AV_77 в сообщении #580878 писал(а):

Тут про формулы Виета можно вспомнить.

[ewert]

nnosipov в сообщении #581102 писал(а):

Вы разницы не замечаете?

Дыскуссия немножко праздная. Я действительно действовал только в одну сторону. Но поскольку в результате получатся системы всего лишь линейных уравнений, решения которых проверяются на корректность уже тривиально -- вопрос автоматически снимается.

С Виетом тоже можно, конечно. Более того -- вполне возможно, что составителем именно так и задумывалось. Но это уж дело вкуса.

[nnosipov]

ewert в сообщении #581211 писал(а):

Я действительно действовал только в одну сторону.

Но невольно получилось в обе

[Charlie]

Вы математики или кто ? Что за дискусси тут развели ? Я правильно решил или нет ? Давайте формулы как по Виета решить.

[AV_77]

Да уже сто раз сказали, что правильно.

[ewert]

Charlie в сообщении #581229 писал(а):

Давайте формулы как по Виета решить.

По Виетуам не формулы, а всего лишь соображения. Квадратное уравнение с единичным старшим коэффициентом взаимно однозначно (с точностью до перестановки, конечно) сопоставляется совокупности его корней. В левых частях уравнений стоят коэффициенты одного уравнения, в правых -- другого. И если эти коэффициенты совпадают, то совпадают (с точностью до перестановки) и их корни.

Конечно, энное к-во заклинаний при этом требуется. Но зато не требуется никакого счёта.

[Charlie]

Вот моё решение. Все квадраты разложились по формуле разности квадратов.
Что тут мудрить ?
Вы можете сказать првильно или нет ?

Charlie в сообщении #581169 писал(а):

$x_1 \cdot x_2 = y_1 \cdot y_2$ (1)

$x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = c$ (2)

$x_1 = c - x_2$ ; $y_1 = c - y_2$ --> подставляем в (1), получим:

$(c - x_2) x_2 = (c - y_2) y_2$

$(x_2^2 - y_2^2) = (x_2 - y_2)c$

как дальше решать полученное уравнение с двумя неизвестными ?

-- Вт июн 05, 2012 18:31:44 --

Charlie в сообщении #581169 писал(а):

$(x_2^2 - y_2^2) = (x_2 - y_2)c$

$(x_2 + y_2) (x_2 - y_2) = (x_2 - y_2)c$

$x_2 + y_2 = c$

-- Вт июн 05, 2012 18:36:42 --

отсюда следует что $x_2 = y_1$ и $y_2 = x_1$

это значит что

$x_1 = y_1$, $x_2 = y_2$
$x_1 = y_2$, $x_2 = y_1$

единственные решения этого уравнения.

Правильно ?

[Shadow]

Обе пары являются корнями одного квадратного уравнения.

[Charlie]

bot в сообщении #581190 писал(а):

Зачем мудрить? Всё ведь очевидно.

AV_77 в сообщении #580878 писал(а):

Тут про формулы Виета можно вспомнить.

А где вы тут многочлен степени n видите, к тому же являющийся функцией одной переменной ???

[Tanechka]

Charlie в сообщении #582826 писал(а):

А где вы тут многочлен степени n видите, к тому же являющийся функцией одной переменной ???

Вижу квадратное уравнение $x^2-(x_1+x_2)x+{x_1}{x_2}$, оно же $x^2-(y_1+y_2)x+{y_1}{y_2}$

[Charlie]

Tanechka

Цитата:

$x^2-(x_1+x_2)x+{x_1}{x_2}$, оно же $x^2-(y_1+y_2)x+{y_1}{y_2}$

в моих уравнениях нет переменной $x$, есть только $x_1$, $x_2$, $y_1$, $y_2$.

видимо ваш $x$ следует заменить на $y_2$ и будет:
$y_2^2-(x_1+x_2)y_2-{x_1}{x_2} = 0$

только вот $x_1+x_2 = с$ известно а ${x_1}{x_2}$ неизвестно. Получилось уравнение с несколькими переменными.

[AV_77]

Вы бы лучше почитали про формулы Виета.

Если $x_1$ и $x_2$ - корни многочлена $x^2 + ax + b$, то $x_1 + x_2 = -a$ и $x_1 x_2 = b$. Так как $y_1 + y_2 = x_1 + x_2$ и $y_1y_2 = x_1x_2$, то $y_1$ и $y_2$ являются корнями того же самого многочлена $x^2 + ax + b$. А так как у многочлена может быть не более 2 корней, то, с точностью до нумерации, $x_1 = y_1$ и $x_2 = y_2$.

[Keter]

Charlie, Вы знаете теорему Виета?

В любом случае:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Иными словами, если $x_1$ и $x_2$ корни квадратного уравнения $ax^2+bx+c$, то

$\begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \\ x_1 x_2 = \frac{c}{a}. \end{cases}$

Но поскольку у нас $x_1 + x_2= y_1 +y_2$, то есть знаменателя нет, то $a=1$. Тогда Вы можете составить уравнение с переменной $x$, корнями которого являются $x_1, x_2$ и из начальной системе выясняем, что $a=1, b=-(x_1 + x_2), c=x_1 x_2$.

$x^2-(x_1 + x_2)x+x_1 x_2 = 0$

-- 11.06.2012, 21:10 --

AV_77, Вы написали первее)))

[Charlie]

AV_77

AV_77 в сообщении #583563 писал(а):

А так как у многочлена может быть не более 2 корней, то, с точностью до нумерации, $x_1 = y_1$ и $x_2 = y_2$.

теперь понял.

AV_77 в сообщении #583563 писал(а):

$x_1 x_2 = b$

вот только $x_1 x_2 = - b$
спасибо всем.

[AV_77]

Charlie в сообщении #583607 писал(а):

AV_77
вот только $x_1 x_2 = - b$

Да уж не только. Просто скобки правильно раскройте $x^2 + ax + b = (x-x_1)(x-x_2)$.