2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Найти подгруппу группы S4
Сообщение26.05.2012, 19:15 


24/05/12
16
СПб
Найти подгруппу группы $S_4$, порождённую элементами $(1234)$ и $(12)$.

Я пробовала решать в лоб: перемножать, возводить в степень, искать обратные.. Но это ооочень долго. Подскажите пожалуйста может есть способ это сделать быстрее(например может быть есть какая то теорема которая докажет что это и будет $S_4$). В общем любые идеи как избежать этот ужасный способ.
А еще вопрос: можно ли как то понять сколько будет элементов в подгруппе до того как мы найдем ее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу группы S4
Сообщение26.05.2012, 19:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Сколько элементов может быть в подгруппе (не этой, а вообще) - знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу группы S4
Сообщение26.05.2012, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Конкретно здесь можно рассуждать примерно так: транспозиция $(12)$ позволяет менять местами первые два элемента; дополнительное использование цикла $(1234)$ позволяет менять местами любые два соседние элемента; умея переставлять соседние элементы, можно менять местами любые два элемента; ну, а всевозможные транспозиции порождают всю группу. Несложно всё это оформить формулками, но словами нагляднее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу группы S4
Сообщение26.05.2012, 21:13 


24/05/12
16
СПб
а как формулками?

-- 26.05.2012, 21:13 --

ИСН, ну да.. $n!$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу группы S4
Сообщение26.05.2012, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Не понял, при чём тут $n!$ (и что вообще такое $n$).

-- Сб, 2012-05-26, 22:33 --

Впрочем, забейте, неважно. RIP всё сказал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу группы S4
Сообщение26.05.2012, 21:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
871
Kefir4ik в сообщении #576833 писал(а):
а как формулками?

Сопряжениями цикла $(12)$, получите все циклы длины 2. Как заметил RIP, они порождают всю группу.
Kefir4ik в сообщении #576833 писал(а):
ИСН, ну да.. $n!$

Это не так. Но теперь уже не важно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу группы S4
Сообщение26.05.2012, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Kefir4ik в сообщении #576833 писал(а):
а как формулками?
а формулками лень.

хорошо, я начну за Вас. Для начала нужно научиться получать транспозиции вида $(i,i+1)$, $1\leqslant i\leqslant3$. Получим, например, $(23)$. Как это можно сделать? Сначала с помощью $(1234)^3$ (или $(1234)^{-1}$) перегоняем элементы $2,3$ на места $1,2$ соответственно (наглядно это легко представить, если расставить числа по окружности), затем меняем их местами с помощью $(12)$ и возвращаем на родину с помощью $(1234)$:
$(23)=(1234)(12)(1234)^3$ (перемножаем справа налево).
Дальше я не знаю, что делать, так что придётся самостоятельно.

(Оффтоп)

Кстати, док-во годится для любого значения $4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу группы S4
Сообщение27.05.2012, 14:49 


24/05/12
16
СПб
Мне преподаватель сказал что нужно как то использовать теорему Лагранжа:
$G$ - конечная группа, $H$ - подгруппа $G$ $\Rightarrow |G|=|H|\cdot [G:H]$
Кто- нибудь знает как это использовать? Я так и не смогла ничего придумать((

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу группы S4
Сообщение27.05.2012, 14:58 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва

(Оффтоп)

Kefir4ik в сообщении #577129 писал(а):
теорему Ла Гранжа:

Он просто Лагранж.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу группы S4
Сообщение27.05.2012, 17:58 


13/11/11
574
СПб
Если я правильно понимаю, что в $S_4$ таки $4!=24$ элемента (т.е. сколькими способами можно расставить 4 элемента на 4 позиции), то приплести Лагранжа можно так: порядок подгруппы делит порядок группы, значит $|G|=2,4$ или $8$. И построить 9 разных элементов, из этого бы вышло что подгруппа совпадает с исходной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу группы S4
Сообщение27.05.2012, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
:shock: А 3, 6 или 12 что, специальным указом выпилены из числа делителей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу группы S4
Сообщение27.05.2012, 18:23 


13/11/11
574
СПб
Ой, затупил. Ну, тогда из 13 различных) Хотя это уже не так круто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу группы S4
Сообщение27.05.2012, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
871
ИСН в сообщении #577278 писал(а):
А 3, 6 или 12 что, специальным указом выпилены из числа делителей?

Вообще то там остаются только 8, 12 и 24. Порядок подгруппы должен делить 4 и не быть равным 4 (поскольку циклы длины 4 и 2 порождают пересекающиеся по 1 подгруппы порядков 4 и 2 соответственно). Рассматривая произведения элементов этих подгрупп можно исключить подгруппы 8 и 12. И получить нужный ответ. Но это совсем не лучшее решение...

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу группы S4
Сообщение27.05.2012, 19:27 


24/05/12
16
СПб
Что- то я не поняла, куда делись 3 и 6? И как мы исключаем 8 и 12?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу группы S4
Сообщение27.05.2012, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
871
Kefir4ik в сообщении #577338 писал(а):
Что- то я не поняла, куда делись 3 и 6?

Это следует из теоремы Лагранжа и из того, что
lek в сообщении #577333 писал(а):
циклы длины 4 и 2 порождают пересекающиеся по 1 подгруппы порядков 4 и 2 соответственно

Kefir4ik в сообщении #577338 писал(а):
И как мы исключаем 8 и 12?

Здесь вам теорема Лагранжа уже не поможет. Можно, например, в лоб показать, что порождаемая подгруппа содержит $>12$ элементов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group