Найти подгруппу группы S4

[Kefir4ik]

Найти подгруппу группы $S_4$, порождённую элементами $(1234)$ и $(12)$.

Я пробовала решать в лоб: перемножать, возводить в степень, искать обратные.. Но это ооочень долго. Подскажите пожалуйста может есть способ это сделать быстрее(например может быть есть какая то теорема которая докажет что это и будет $S_4$). В общем любые идеи как избежать этот ужасный способ.
А еще вопрос: можно ли как то понять сколько будет элементов в подгруппе до того как мы найдем ее?

[ИСН]

Сколько элементов может быть в подгруппе (не этой, а вообще) - знаете?

[RIP]

Конкретно здесь можно рассуждать примерно так: транспозиция $(12)$ позволяет менять местами первые два элемента; дополнительное использование цикла $(1234)$ позволяет менять местами любые два соседние элемента; умея переставлять соседние элементы, можно менять местами любые два элемента; ну, а всевозможные транспозиции порождают всю группу. Несложно всё это оформить формулками, но словами нагляднее.

[Kefir4ik]

а как формулками?

-- 26.05.2012, 21:13 --

ИСН, ну да.. $n!$

[ИСН]

Не понял, при чём тут $n!$ (и что вообще такое $n$).

-- Сб, 2012-05-26, 22:33 --

Впрочем, забейте, неважно. RIP всё сказал.

[lek]

Kefir4ik в сообщении #576833 писал(а):

а как формулками?

Сопряжениями цикла $(12)$, получите все циклы длины 2. Как заметил RIP, они порождают всю группу.

Kefir4ik в сообщении #576833 писал(а):

ИСН, ну да.. $n!$

Это не так. Но теперь уже не важно...

[RIP]

Kefir4ik в сообщении #576833 писал(а):

а как формулками?

а формулками лень.

хорошо, я начну за Вас. Для начала нужно научиться получать транспозиции вида $(i,i+1)$, $1\leqslant i\leqslant3$. Получим, например, $(23)$. Как это можно сделать? Сначала с помощью $(1234)^3$ (или $(1234)^{-1}$) перегоняем элементы $2,3$ на места $1,2$ соответственно (наглядно это легко представить, если расставить числа по окружности), затем меняем их местами с помощью $(12)$ и возвращаем на родину с помощью $(1234)$:
$(23)=(1234)(12)(1234)^3$ (перемножаем справа налево).
Дальше я не знаю, что делать, так что придётся самостоятельно.

(Оффтоп)

Кстати, док-во годится для любого значения $4$.

[Kefir4ik]

Мне преподаватель сказал что нужно как то использовать теорему Лагранжа:
$G$ - конечная группа, $H$ - подгруппа $G$ $\Rightarrow |G|=|H|\cdot [G:H]$
Кто- нибудь знает как это использовать? Я так и не смогла ничего придумать((

[AV_77]

(Оффтоп)

Kefir4ik в сообщении #577129 писал(а):

теорему Ла Гранжа:

Он просто Лагранж.

[Unconnected]

Если я правильно понимаю, что в $S_4$ таки $4!=24$ элемента (т.е. сколькими способами можно расставить 4 элемента на 4 позиции), то приплести Лагранжа можно так: порядок подгруппы делит порядок группы, значит $|G|=2,4$ или $8$. И построить 9 разных элементов, из этого бы вышло что подгруппа совпадает с исходной.

[ИСН]

А 3, 6 или 12 что, специальным указом выпилены из числа делителей?

[Unconnected]

Ой, затупил. Ну, тогда из 13 различных) Хотя это уже не так круто.

[lek]

ИСН в сообщении #577278 писал(а):

А 3, 6 или 12 что, специальным указом выпилены из числа делителей?

Вообще то там остаются только 8, 12 и 24. Порядок подгруппы должен делить 4 и не быть равным 4 (поскольку циклы длины 4 и 2 порождают пересекающиеся по 1 подгруппы порядков 4 и 2 соответственно). Рассматривая произведения элементов этих подгрупп можно исключить подгруппы 8 и 12. И получить нужный ответ. Но это совсем не лучшее решение...

[Kefir4ik]

Что- то я не поняла, куда делись 3 и 6? И как мы исключаем 8 и 12?

[lek]

Kefir4ik в сообщении #577338 писал(а):

Что- то я не поняла, куда делись 3 и 6?

Это следует из теоремы Лагранжа и из того, что

lek в сообщении #577333 писал(а):

циклы длины 4 и 2 порождают пересекающиеся по 1 подгруппы порядков 4 и 2 соответственно

Kefir4ik в сообщении #577338 писал(а):

И как мы исключаем 8 и 12?

Здесь вам теорема Лагранжа уже не поможет. Можно, например, в лоб показать, что порождаемая подгруппа содержит $>12$ элементов.