Переход от гамильтониана к эффективному гамильтониану.

[Rumato]

Здравствуйте, читая книгу, встретил такое место: гамильтониан системы описывается :$H = \dfrac{p^{2}}{2m} + V(x)$, а эффективный гамильтониан системы $H = h \omega Z$. Я понимаю, что эффективный гамильтониан, как и эффктивные операторы описывают состояние системы в конечномерном заданном пространстве.(если не прав поправте)

Теперь сам вопрос: как перейти от обычных операторов и гамильтониана к эффективным?
И где про это можно почитать?


Заранее спасибо за помощь!

[Munin]

Rumato в сообщении #575433 писал(а):

Я понимаю, что эффективный гамильтониан, как и эффктивные операторы описывают состояние системы в конечномерном заданном пространстве.

Я об этом впервые слышу. "Эффективный" означает "как будто". То есть "система обладает эффективным гамильтонианом..." означает "система - как будто другая система, обладающая гамильтонианом...".

[Rumato]

Задам вопрос по-другому:
Эффективные операторы - что это?
Эффективный гамильтониан - что это?

Где лучше про это почитать? Как перейти от описания системы простым гамильтонианом к описанию системы эффективным?

Заранее спасибо.

[Munin]

Rumato в сообщении #575592 писал(а):

Эффективные операторы - что это?

Не знаю.

Rumato в сообщении #575592 писал(а):

Эффективный гамильтониан - что это?

Некий способ рассмотрения системы как другой системы, у которой в качестве гамильтониана выступает этот эффективный гамильтониан. Переход от одной системы к другой не формализован, это может быть и переход к другому базису, и приближение, и что-то ещё.

Rumato в сообщении #575592 писал(а):

Где лучше про это почитать? Как перейти от описания системы простым гамильтонианом к описанию системы эффективным?

Как отдельный чётко разработанный метод это нигде не фигурирует. Иногда в разных местах встречается, на таком полуформальном уровне. В физике твёрдого тела, например. В статистической физике. Где-то ещё, не знаю где.

[Rumato]

Да я вот сегодня кучу времени потратил пока искал про это хоть что-нибудь. Просто как Вы в первом посту видите, сначала было один гамильтониан, а затем не известно как взяли другой и начали уже с ним работать.


Ладно, ещё раз спасибо, пойду разбираться)

[Munin]

Разбирайтесь с ключевым моментом, как взяли другой. Если совсем нет пояснений - загляните в более базовый учебник.

[lek]

Rumato, понятия "эффективного гамильтониана" и "эффективного действия" иногда встречаются при описании квантовой механики и неабелевых калибровочных теорий с помощью функциональных интегралов. См., например, Л. Райдер "Квантовая теория поля" ($\S$ 5.1) (http://bib.tiera.ru/).

[espe]

Rumato в сообщении #575433 писал(а):

Здравствуйте, читая книгу, ...

Для (возможного) ответа на вопрос очень желательно знать книгу, которую Вы читали.

[Alex-Yu]

Rumato в сообщении #575433 писал(а):

Теперь сам вопрос: как перейти от обычных операторов и гамильтониана к эффективным?

Мне понятие "эффективный гамильтониан" встречалось только в контексте стат физики. Там все (на принципиальном уровне) относительно просто. Пусть у нас есть система у которой степени свободы можно разделить на две группы, скажем x и y. Статсумма это

$$ Z=Sp \, e^{-\beta H(x,y)} $$

Разбиваем шпур на два: по переменным x и y:

$$ Z= Sp_y Sp_x e^{-\beta H(x,y)} = Sp_y e^{-\beta H_{eff}(y)} $$

где

$$ H_{eff}(y) = -\beta^{-1}\ln Sp_x e^{-\beta H(x,y)} $$

Вот так если в двух словах. Ну совсем в двух словах

В КТП широко используется понятие эффективного действия. Но чтобы эффективный гамильтониан... Ну можно, в принципе, и такое ввести в рамках КТП.

[Rumato]

Книга: Нильсен и Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация. "Мои гамильтонианы" там там где рассматривается потенциальная яма. ссылку на книгу не могу дать, т.к. в электронном варианте качество очень полохое, хотя, если кому-то нужна то могу выложить куда-нибудь.

Впринципе, я что из ответов здесь, что исходя из того, что сам почитал, понял что и от куда, поэтому большое спасибо Всем за помощь и отзывчивость=)

[Munin]

У меня такое подозрение, что на самом деле эффективный гамильтониан там у вас $H = \dfrac{p^{2}}{2m} + \dfrac{kx^{2}}{2}$ - квадратичный член потенциала в окрестности дна потенциальной ямы, а $\hbar \omega N$ (точнее всё-таки $\hbar \omega \bigl(N + \tfrac{1}{2}\bigr)$ ) получается уже из решения этого осциллятора. Тут просто пара стандартных логических шагов пропущена. Несколько некорректно сразу конечный результат называть "эффективным гамильтонианом", но как slip of tongue сойдёт - вот только на читателя это рассчитано более подготовленного и привычного.

Про осцилляторы очень подробно рассмотрено в Мессиа, конец 1 тома - очень рекомендую. Ни в ФЛФ, ни в ЛЛ-3 этого почему-то нет.

[Rumato]

Munin
большое спасибо, примерно тоже мне сегодня в универе рассказали, а в книге Мессиа прочту эту часть.

[Munin]

Мне жаль, что я сразу этого не сообразил, меня, наверное, необычная буква $Z$ сбила - что это? координата? заряд ядра?..

Короче, "эффективный" в данном случае означает приближение - когда от тейлоровского разложения остаётся только квадратичный член.

[Rumato]

да, Z повидимому координата, т.е. мы берём эту систему в яме и рассматриваем её как штуку, что может двигаться только по Z координате и потом можно рассматривать эту систему как модель кубита.

[Munin]

Нет, $Z$ не координата, это просто номер уровня возбуждённого состояния в осцилляторе, изменяется $0,1,\ldots,\infty.$ Прочитайте осциллятор, это очень важная базовая тема.