Студенческая олимпиада УрФУ по математике (4 апреля 2012 г.)

[Arcanine]

1. Найти пару двузначных чисел, отличающихся друг от друга перестановкой цифр, если их НОД равен 9, а разность кратна 5.

2. Четыре прямые заданы уравнениями:
$\frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{0};\,\frac{x}{0}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{0};\,\frac{x-1}{0}=\frac{y-2}{0}=\frac{z}{1};\,\frac{x-2}{0}=\frac{y-1}{0}=\frac{z}{1}\,.

3. Вычислите интеграл $\int\limits_0^1 |x-\sqrt[5] {1-x^5}|\,dx\,.$

4. Найти ранг матрицы
$A\,=\,\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 9 & 17 & 21\\ 0 & 18 & \lambda+27 & 42\\ 0 & \mu+4 & 17 & 21 \end{pmatrix}$
при всех значениях параметров $\lambda$ и $\mu\,.$

5. При каких $\alpha\,\in\,R$ уравнение $z^2+\bar{z}+\alpha=0$ имеет четыре корня?

6. Доказать, что функция
$f(x,y)=Ax^3+Bx^2y+Cxy^2+Dy^3$ имеет в точке $(0,0)$ по меньшей мере тот же порядок малости, что и функция $g(x,y)={(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}\,.$

7. На окружности $x^2+y^2=1$ найти точку, сумма расстояний от которой до точек с координатами $(0,5)$ и $(3,4)$ минимальна.

8. Решить матричное уравнение
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 &5 \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}X\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\,.$

9. Исследовать сходимость ряда $\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\ln(n!)}\,.$

10. Вокруг эллипса описаны два различных прямоугольника. Докажите, что их диагонали равны.

11. Трехмерные векторы $\vec{x}$ являются решением уравнения $|[\vec{x}\times\vec{k}]|=(\vec{x},\vec{k})\,.$ Найти уравнение поверхности на которой лежат все эти векторы.

12. Есть 2012 секций забора. Каждая секция в поперечном сечении представляет четверть окружности радиуса 1. Как огородить участок максимальной площади? Чему равна эта площадь?

13. Четыре корня многочлена
$P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$
образуют арифметическую прогрессию с разностью 1. Найти расстояние между точками минимума функции $P(x)\,.$

14. Найдите общее решение дифференциального уравнения
$y(x)y'(x)+{(y'(x))}^2+{(y'(x))}^3+...+{(y'(x))}^{2012}=1\,.$

15. Существует ли для любого натурального $n\ge2$ квадратная матрица $n$-ого порядка $A$, такая, что $rangA=n-1$ и $A^n=O$, где $O$ - нулевая матрица? Ответ обосновать.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Это что - влияние ЕГЭ - выносить на олимпиаду такое большое число задач, но не сложных? Тут многие задачи на уровне учебных.

[gris]

первая какая-то младше школьная. Сумма девять, разность 5. 7 и 2.

[mihailm]

10 известна давно - из Цубербиллера

[hippie]

Первое, что пришло в голову.

#7.

Ответ: $(\frac 1{\sqrt{10}};\ \frac 3{\sqrt{10}}).$

Т.к. $0^2+5^2=3^2+4^2,$ то искомая точка лежит на пересечении окружности с серединным перпендикуляром к отрезку $[(0,\ 5);\ (3,\ 4)].$


#9.

Ответ: Расходится.

$\frac 1{\ln n!}>\frac 1{\ln n^n}=\frac 1{n\ln n},$ а ряд $\sum\limits_{n=2}^\infty \frac 1{n\ln n}$ расходится по интегральному признаку.

#15.

Ответ: Существует.

Например, нильпотентная жорданова клетка.

[Хорхе]

(Оффтоп)

15 Напомнило анекдот про вопросы в экзаменационных билетах: "Сила тока измеряется в амперах. а) да. б) есть! в) так точно!"

[Praded]

(Оффтоп)

А что нужно сделать во втором задании?
Нет ли очепяток в задании 8 ?

[Arcanine]

Цитата:

А что нужно сделать во втором задании?

Найти уравнение прямой, пересекающей эти прямые.

(Оффтоп)

Praded, моя рассеяность.

[Arcanine]

(Оффтоп)

Цитата:

Нет ли очепяток в задании 8 ?

Praded, переписал так, как было в оригинале.

[Dave]

По поводу 10 - обобщение на $n$-мерный случай см. здесь.

[Arcanine]

Dave, благодарю.

[Arcanine]

Может кто подскажет по 11 задаче?

[ИСН]

Короче, выразить лево и право через модули векторов и угол между.

[arqady]

Arcanine в сообщении #577357 писал(а):

Может кто подскажет по 11 задаче?

Даже если базис ортонормированный, всё равно получается какая-то квадратичная дрянь, напоминающая конус.

[Maximpg]

В 11 задаче можно просто умножить векторное произведение скалярно на себя, воспользовавшись соответствующей формулой.