Студенческая олимпиада УрФУ по математике (4 апреля 2012 г.)

[Maximpg]

А вот что делать в 14?

[arqady]

Arcanine в сообщении #573398 писал(а):

10. Вокруг эллипса описаны два различных прямоугольника. Докажите, что их диагонали равны.

Йоав Кляйн решал так:
Опишем около одного из прямоугольников окружность. Тогда её центр совпадает с центром эллипса.
Тогда по теореме Понселе для любой точки полученной окружности существует единственный четырёхугольник, вписанный в неё и описанный около эллипса, одна из вершин которого совпадает с выбранной точкой. Но полученный четырёхугольник центрально симметричен. Значит, он параллелограмм.
А параллелограмм, вписанный в окружность, является прямоугольником!

[MrDindows]

Maximpg в сообщении #581852 писал(а):

А вот что делать в 14?

И всё же, что делать в 14?)

[mihiv]

MrDindows в сообщении #587644 писал(а):

И всё же, что делать в 14?)

Можно,например,записать решение в параметрическом виде:введем параметр $p=y'(x)$,тогда

$$y(p)=\frac 1p-p-p^2-\dots -p^{2011}$$

и,следовательно, $dx=\frac {dy}p=\left (-\frac 1{p^3}-\frac 1p-2-3p-\dots -2011p^{2009}\right )dp$,отсюда

$$x(p)=\frac 1{2p^2}-\ln |p|-2p-\dots \frac {2011}{2010}p^{2010}+C$$