Лагранжиан и добавочная функция.

[Ubu]

Имеется лагранжиан $L, f = f(t,q,\dot{q} )$ - добавочная функция
$L \rightarrow L+f $

Каков класс функций $f$, при которых уравнения Лагранжа $E(L)=0 $ не изменятся?


Как пытаюсь делать:

Рассматриваю уравнения с одной обобщённой координатой:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} =0$

Заменой $L \mapsto (L+f) $ получаю

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial (L+f)}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial (L+f)}{\partial q} =0$

$\frac{\partial f}{\partial q}= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial f}{\partial \dot{q}}$

Очевидно, что можно прибавить или умножить ($\neq 0$) на константу. Как найти остальные случаи?

[scwec]

Вам ведь точный ответ нужен. Но он следующий: $f=\operatorname{const}$. Или я не понял Вашего вопроса.

[Ubu]

В ответе - прибавление, умножение на константу и случай, когда $f$ - полная производная по времени от другой функции.
Как придти к последнему случаю?

т. е.
$L \mapsto L+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} f(q, t) $

[scwec]

Так это учебная задача?

[Ubu]

(Оффтоп)

scwec в сообщении #572844 писал(а):

Так это учебная задача?

Дано как утверждение, надо доказать.

[scwec]

(Оффтоп)

Не знаю, как и написать, может кто сподобится, очень сочувствую. Может позже.

[scwec]

Ответ может быть таким: $f=\frac{d}{dt}(\sum_{i=1}^n{c_i}{q_i}+g(t))$, где $c_i=\operatorname{const}$ и $g(t)$ -гладкая функция.

[scwec]

Теперь общий случай.
Полная производная произвольной гладкой $F(q_1,q_2,...q_n,t)$ $f=\frac{dF}{dt}=\sum_{i=1}^n{\frac{\partial{F}}{\partial{{q}_i}}\dot {q}_i}+\frac{\partial{F}}{\partial{t}}\qquad(1)$.
Надо показать, что $\frac{d}{dt}(\frac{\partial{f}}{\partial{\dot {q}_k}})=\frac{\partial{f}}{\partial{q_k}}\qquad(2)$.
Но левая часть $(2)$ после подстановки в неё $f$ из $(1)$ равна $\sum_{i=1}^n{\frac{\partial^2{F}}{\partial{q_k}\partial{q_i}}\dot {q}_i}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{q_k}\partial{t}}$,

а правая часть $(2)$ после подстановки в неё $f$ из $(1)$ равна $\sum_{i=1}^n{\frac{\partial^2{F}}{\partial{q_i}\partial{q_k}}\dot {q}_i}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{t}\partial{q_k}}$.
В силу равенства смешанных производных равенство $(2)$ выполняется и добавление $f$ к $L$ не изменяет уравнений Лагранжа, ч.т.д.

[Ubu]

Благодарю.