2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Асимптотика интеграла
Сообщение16.05.2012, 14:46 
Помогите, пожалуйста, найти асимптотику интеграла по $x$ на бесконечности.
$$
   I(x) = \int\limits_{|\xi| = |k|} e^{i \xi x} \chi [( \xi - k, \gamma )] d\xi
$$
Здесь $\xi$, $x$, $\gamma$, $k$ принадлежат $\mathbb{R}^{n}$, $\chi$ --- функция Хевисайда.

Всё что приходит в голову, сделать замену $\xi \mapsto |x| \xi$, получим
$$
I(x) = |x|^{-n+1}\int\limits_{|\xi| = |k||x|} e^{i \xi \vartheta} \chi[( \xi - k|x|, \gamma)] d\xi, 
$$
где $|\vartheta| = 1$. Можно заметить, что под интегралом множитель-функция Хевисайда от $|x|$ не зависит (можно поменять на некоторую функцию $C(\xi,k,\gamma)$.) Как дальше?

 
 
 
 Re: Асимптотика интеграла
Сообщение16.05.2012, 17:59 
Возможно, вам поможет метод стационарной фазы в многомерном случае. (Вроде у Федорюка что-то было на эту тему).

 
 
 
 Re: Асимптотика интеграла
Сообщение16.05.2012, 18:04 
Хм, мне казалось, что он не работает для преобразования Фурье (у него же фаза постоянна).

 
 
 
 Re: Асимптотика интеграла
Сообщение16.05.2012, 18:07 
Nimza в сообщении #571886 писал(а):
Хм, мне казалось, что он не работает для преобразования Фурье (у него же фаза постоянна).

Да, не работает. Не обратил внимание на то, что у вас фурье-образ.

 
 
 
 Re: Асимптотика интеграла
Сообщение16.05.2012, 18:12 
Вроде бы задача сводится к поиску асимптотики интеграла
$$
  \Omega(r) = \int\limits_{-1}^{1} e^{irt} (1-t^2)^{\frac{m-3}{2}} f(t) dt
$$
Если $k$ противоположно направлен с $\gamma$, то $f(t) \equiv 1$ (а вообще $f$ это характеристическая функция некоторого подотрезка). Я уже подзабыл, для таких интегралов асимптотика по $r$ на бесконечности легко считается?

 
 
 
 Re: Асимптотика интеграла
Сообщение16.05.2012, 18:31 
Nimza, Ваш интеграл при целых $m > 1$ выражается через функцию Бесселя, если $f(t) \equiv 1$.

 
 
 
 Re: Асимптотика интеграла
Сообщение16.05.2012, 18:37 
Это Вы отлично заметили! Думаю, что делать с другими $f$.

 
 
 
 Re: Асимптотика интеграла
Сообщение16.05.2012, 19:00 
Сделайте замену $\xi = \sin \varphi$. А дальше узнавайте интегральное представление функции Бесселя. Дальше всё зависит от $f(t)$.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group