Асимптотика интеграла

[Nimza]

Помогите, пожалуйста, найти асимптотику интеграла по $x$ на бесконечности.

$$ I(x) = \int\limits_{|\xi| = |k|} e^{i \xi x} \chi [( \xi - k, \gamma )] d\xi $$

Здесь $\xi$, $x$, $\gamma$, $k$ принадлежат $\mathbb{R}^{n}$, $\chi$ --- функция Хевисайда.

Всё что приходит в голову, сделать замену $\xi \mapsto |x| \xi$, получим

$$ I(x) = |x|^{-n+1}\int\limits_{|\xi| = |k||x|} e^{i \xi \vartheta} \chi[( \xi - k|x|, \gamma)] d\xi, $$

где $|\vartheta| = 1$. Можно заметить, что под интегралом множитель-функция Хевисайда от $|x|$ не зависит (можно поменять на некоторую функцию $C(\xi,k,\gamma)$.) Как дальше?

[Taus]

Возможно, вам поможет метод стационарной фазы в многомерном случае. (Вроде у Федорюка что-то было на эту тему).

[Nimza]

Хм, мне казалось, что он не работает для преобразования Фурье (у него же фаза постоянна).

[Taus]

Nimza в сообщении #571886 писал(а):

Хм, мне казалось, что он не работает для преобразования Фурье (у него же фаза постоянна).

Да, не работает. Не обратил внимание на то, что у вас фурье-образ.

[Nimza]

Вроде бы задача сводится к поиску асимптотики интеграла

$$ \Omega(r) = \int\limits_{-1}^{1} e^{irt} (1-t^2)^{\frac{m-3}{2}} f(t) dt $$

Если $k$ противоположно направлен с $\gamma$, то $f(t) \equiv 1$ (а вообще $f$ это характеристическая функция некоторого подотрезка). Я уже подзабыл, для таких интегралов асимптотика по $r$ на бесконечности легко считается?

[Taus]

Nimza, Ваш интеграл при целых $m > 1$ выражается через функцию Бесселя, если $f(t) \equiv 1$.

[Nimza]

Это Вы отлично заметили! Думаю, что делать с другими $f$.

[Taus]

Сделайте замену $\xi = \sin \varphi$. А дальше узнавайте интегральное представление функции Бесселя. Дальше всё зависит от $f(t)$.