решить сравнение

[give_up]

подскажите, почему сравнение $\[{x^{102}} = 2(\bmod 15)\]$ не имеет решений, если $x$ - целое?

Это связано с тем, что по модулю 15 не существует первообразных корней?

[Sonic86]

give_up в сообщении #569803 писал(а):

Это связано с тем, что по модулю 15 не существует первообразных корней?

Нет. Ну просто не имеет - сводится к линейному сравнению показателей. Можно к символу Якоби свести, наверное.
Вы как решали?

[give_up]

Да я вот не знаю как его решать как раз, знаю ответ (то что оно не имеет целочисленных решений). А как его можно свести к линейному сравнению показателей? Прологарифмировать по основанию 2?

[Shadow]

А почему $x^2 \equiv 2 \pmod 3$ не имеет решений?

[Joker_vD]

Сводим его к системе сравнений

$$\left\{\begin{array}{c}x^{102}\equiv2\pmod3,\\x^{102}\equiv2\pmod5;\end{array}\right.$$

[give_up]

Joker_vD[/b] вот если бы в системе была степень 2, а не 102 тогда бы я понял как ее решить

[Joker_vD]

give_up
А еще есть теорема Ферма: $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$ для всех простых $p$. Вот, собственно, и все два столпа: китайская теорема об остатках и малая теорема Ферма.

[give_up]

Т.е. так как уравнения $\[{x^2} = 1(\bmod 3),\,\,{\left( {{x^2}} \right)^{51}} = 1(\bmod 3)\]$ имеют одни и те же решения ($x=$$\[ \pm 1\]$), то первое уравнение вашей системы решений не имеет, т.к. $\[ \pm 1 \ne 2(\bmod 3)\]$, поэтому и вся система не имеет решений. Теперь вроде понятно...