Единственность решения задачи Коши обыкн. дифф. уравнений

[evgeniy]

Рассмотрим дифференциальное уравнение
$\frac{d [Mx+P(x)]}{dt }=Mx+P(x) $
оно имеет решение $ Mx+P(x)=c \exp(t) $, причем величина M определяется из неравенства
$M+dP(x)/dx>0,M>-\max_{x \in G}dP(x)/dx$ .
Рассмотрим в качестве P(x) полином бесконечной степени
$P(x)=\prod_{n=1}^{\infty}(x+r_n)/r_n$
где $r_n$ множество рациональных чисел кроме нуля на отрезке [0,1]. Рассматриваемые области $G_n$, это иррациональные окрестности рациональных точек $x= -r_n$. Эти рациональные точки взяты на отрезке длиной 1. В этих областях выполняется условие существования и единственности задачи Коши по построению, правая часть дифференциального уравнения и его производная конечна. В окрестности этой точки полином величина конечная, стремящаяся к нулю, по мере приближения к рациональной точке и значит правая часть дифференциального уравнения конечна. Производная по x при $x=-r_n+c/N $, содержит счетное число малых членов порядка $c/N $, где N определяет количество счетных членов, плюс конечный член с исключенным множителем $(x+r_n)$ бесконечного произведения (этот член близок к $1/r_n$ , так как каждому рациональному числу $r_m$ в произведении соответствует обратная величина), т.е. производная от правой части дифференциального уравнения конечна. При этом формула для решения на множестве рациональных чисел на отрезке длиной 1 определяется с помощью выражения
$Mx=c \exp(t) $
а в иррациональных числах
$Mx+P(x)=c \exp(t) $
т.е. решения на множестве рациональных чисел и на множестве иррациональных числах отличается. Т.е. если рассматривать решение дифференциального уравнения в области рациональных чисел получаем одну формулу для решения, тождественный ноль полинома, а если в области иррациональных чисел другую.
Теорему существования и единственности задачи Коши для обыкновенных дифференциальных нелинейных уравнений нужно дополнить еще одним условием, решение на множестве, исключая множество меры ноль (множества меры ноль, это множество рациональных чисел).

[ewert]

evgeniy в сообщении #569714 писал(а):

Рассмотрим в качестве P(x) полином бесконечной степени
$P(x)=\prod_{n=1}^{\infty}(x+r_n)/r_n$

Не рассмотрим -- от разойдётся.

[evgeniy]

Это произведение сходится и равно примерно единице. В самом деле каждому числу знаменателю $r_n$ соответствует обратное число $(x+r_m)$ и бесконечное произведение приближенно равно единице.

[ewert]

evgeniy в сообщении #569722 писал(а):

В самом деле кажлому числу $r_n$ соответствует обратное число $(x+r_m)$

Это не аргумент: сходимость если и есть, то заведомо не абсолютная и, следовательно, без указания конкретного порядка перемножения о ней ничего сказать нельзя.

[g______d]

ewert в сообщении #569725 писал(а):

без указания конкретного порядка перемножения о ней ничего сказать нельзя.

И уж тем более дифференцировать...

[evgeniy]

Возьмем логарифм этого произведения, так как эта сумма разбивается на одинаковые члены с разным знаком, группируем сумму на соседние члены с разным знаком и получим, что ее сумма равна нулю в определенном смысле. Например в смысле среднего арифметического, вместо суммы $\sum_{n=0}^{\infty}a_n=\sum_{n=0}^{\infty}b_n,b_n=\sum_{k=1}^n a_k/n$

[g______d]

evgeniy в сообщении #569736 писал(а):

сумма равна нулю в определенном смысле.

Сформулируйте точно математически этот смысл. И докажите, что эту сумму можно дифференцировать.

[Vince Diesel]

Этот "полином бесконечной степени" дожен был бы обращаться в ноль на плотном множестве целого интервала. Если бы произведение действительно сходилось, причем к непрерывной функции, она была бы тождественно равна нулю на $(-1,0)$.

[evgeniy]

Ряд нужно перегрупировать. Берем первый член ряда $a_1$, ищем член противоположного знака, но отличающийся по модулю на $\varepsilon$. Обозначаем его вторым членом ряда. Берем член ряда $a_2$ ищем для него члены мало от него отличающиеся по модулю, но противоположные по знаку, обозначаем 4 членом ряда. Очевидно этот новый ряд будет абсолютно сходящимся, так как для любого количества членов N, можно указать сумму ряда меньше заданного числа. Если коэффициенты зависят от x, то получим непрерывную функцию.
Аналогичную процедуру проделаем с производной от суммы, разбиваем на пары, строим ряд который абсолютно сходится.
Этот полином обращается в ноль на счетном множестве рациональных чисел, а в иррациональных точках не равен нулю.

-- Пт май 11, 2012 18:24:20 --

Получается, что это произведение равно либо нулю в рациональных точках, либо единице в иррациональных точках. Получается два разных решения одного уравнения, в рациональных точках, либо в иррациональных точках. Но это не противоречит теореме единственности, так как правая часть разрывна.
Я снимаю свою выступление, так как условия теоремы единственности для моего примера нарушены, поэтому получилось два решения.

[ewert]

evgeniy в сообщении #569757 писал(а):

Получается, что это произведение равно либо нулю в рациональных точках, либо единице в иррациональных точках.

Предположим (лень вникать в детали -- всё равно бесполезно). И что же Вы предполагаете подразумевать под производной этой замечательной функции?...

-- Пт май 11, 2012 18:40:32 --

evgeniy в сообщении #569757 писал(а):

условия теоремы единственности для моего примера нарушены, поэтому получилось два решения.

Да ни одного не получилось. А разрывность правой части, между прочим, вовсе не обязательно противоречит существованию и единственности.

[Integrall]

evgeniy в сообщении #569757 писал(а):

Ряд нужно перегрупировать. Берем первый член ряда , ищем член противоположного знака, но отличающийся по модулю на . Обозначаем его вторым членом ряда

по-вашему получается, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n$ сходится.

[evgeniy]

Да в определенном смысле этот ряд сходится. Если его перегрупировать.
К сожалению требование единственности задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений непрерывность правой части и ее производной по x.
Если рассматривать решение отдельно по рациональным и иррациональным числам, то оно разное.

[shwedka]

Ну что Вы, коллеги, на ТС набросились со сходимостью... У него, как известно, все ряды сходятся...
Но есть перлы и похлеще

evgeniy в сообщении #569714 писал(а):

Рассматриваемые области $G_n$, это иррациональные окрестности рациональных точек $x= -r_n$.

То есть, в его математике, у каждой рациональной точки есть иррациональная окрестность!! Счастье-то какое!

[evgeniy]

Shwedka абсолютно права, в окрестности рационального числа перемешаны действительные и рациональные числа. Тут я ошибся. Но зато выяснилось новое обстоятельство с пределами ряда. Как мне кажется, сумма ряда может быть многозначной, по аналогии с многозначными функциями. Так можно сгруппировать члены ряда $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n$, чтобы они имели предел 1 или 0. Причем это можно сделать таким образом, чтобы существовали два единственных предела суммы ряда. Возникает вопрос, как многозначную функцию представить одним рядом, сумма которого имеет несколько пределов. Вопрос, как считаются коэффициенты этого ряда.

[shwedka]

Косноязычие ТС уступает лишь его невежеству.

evgeniy в сообщении #570043 писал(а):

перемешаны действительные и рациональные числа

сравните: Перемешаны люди и женщины

Цитата:

два единственных предела

Две единственных руки

evgeniy в сообщении #570043 писал(а):

сгруппировать члены ряда $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n$, чтобы они имели предел 1 или 0.

Убей, нуля в пределе не получишь!