диффузия с кристаллизацией

[AndreyL]

Друзья! Такая задача:
Есть двухфазная среда расплав-кристаллы. В этой среде происходит диффузия, причем диффузия идет только в расплаве (коэффициенты диффузии в кристаллах очень маленькие). Кристаллы постоянно находятся в равновесии с расплавом, т.е. отношение содержания компонента в кристаллах $C_{cr}$ к содержанию компонента в расплаве $C_{l} $ равно константе распределения $\frac{C_{cr}}{C_{l}}=K_d$. При этом происходит кристаллизация (или плавление, не важно) системы, т.е. количество (доля) кристаллов в смеси есть функция пространства и времени $f=f(t,x)$.
Вопрос: как правильно составить дифференциальное уравнение?
У меня есть два варианта
Первый, считать через концентрацию компонента в кристалл-расплавной смеси $C_{mix}$, тогда

$$C_l=\frac{C_{mix}}{1-f(1-K_d)}$$

$$\frac{\partial C_{mix}}{\partial t}=D\frac{\partial}{\partial x} \left[ (1-f) \frac{\partial C_l}{\partial x}\right]$$

Второй вариант, считать через содержание компонента в расплаве, тогда

$$\frac{\partial C_l}{\partial t}=D\frac{\partial^2 C_l}{\partial x^2}+C_l \frac{1-K_d}{1-f(1-K_d)}\frac{\partial f}{\partial t}$$

$$C_{mix}=(1-f(1-K_d))C_l$$

как правильно? может быть оба варианта неправильны?

[nestoklon]

AndreyL в сообщении #568724 писал(а):

У меня есть два варианта

У меня есть третий. Найти учебник, в котором написано про то как считать зонную плавку.

[AndreyL]

nestoklon в сообщении #568769 писал(а):

У меня есть третий. Найти учебник, в котором написано про то как считать зонную плавку.

Очень хороший вариант. Подскажите, пожалуйста, учебник попроще - при попытке найти в сети вываливается куча статей с моделированием конвекции, трехмерными моделями плавления с решением задачи Стефана и т.п. У меня задача простенькая одномерная без конвекции, задача плавления решена отдельно.

[AndreyL]

Посмотрел книжку Пфанна (Зонная плавка, 1970) - к сожалению, ничего подходящего для решения моей задачи не нашел. К тому-же в зонной плавке (если я ее правильно понимаю) идея немного другая - там есть область полностью твердого, есть область полностью жидкого. В моей же задаче вся рассматриваемая область двухфазная, изменяется только отношение кристаллы/расплав.

[AndreyL]

А если упростить задачу, и сказать, что количество (доля) кристаллов в смеси не зависит от времени $f=f(x)$. Как тогда составить уравнение?

[nestoklon]

AndreyL в сообщении #569019 писал(а):

В моей же задаче вся рассматриваемая область двухфазная, изменяется только отношение кристаллы/расплав.

Это как это? У вас граница между фазами отсутствует? А как это получается? Кристаллы взвешены в расплаве и при этом не слипаются? Разве так бывает?

Уравнения будут те же что в зонной плавке. Диффузия в жидкой фазе + плавление + кристаллизация + потоки тепла. Больше там ничего не придумать если не заниматься тем как образуются зародыши кристаллов. Что само по себе является забавной и очень нетривиальной задачей.

[AndreyL]

nestoklon в сообщении #569620 писал(а):

У вас граница между фазами отсутствует? А как это получается? Кристаллы взвешены в расплаве и при этом не слипаются? Разве так бывает?

Бывает. Кристаллы образуют проницаемый каркас и занимают около 40-70% объема

nestoklon в сообщении #569620 писал(а):

Уравнения будут те же что в зонной плавке. Диффузия в жидкой фазе + плавление + кристаллизация + потоки тепла. Больше там ничего не придумать если не заниматься тем как образуются зародыши кристаллов. Что само по себе является забавной и очень нетривиальной задачей.

А какие все-таки уравнения в зонной плавке? Подскажите, пожалуйста, хоть какой-то учебник. Потоки тепла у меня не рассматриваются, точнее, они уже известны, также решена задача кристаллизации-плавления, т.е. функция пористости уже известна - решено в рамках другой задачи. Сейчас же интересует поведение микропримесей, концентрации которых не влияют на фазовую диаграмму.

[nestoklon]

AndreyL в сообщении #569627 писал(а):

Кристаллы образуют проницаемый каркас и занимают около 40-70% объема

Ну, может, напишете, что за система такая экзотическая. Очень сложно отвечать на ваши вопросы, не понимая постановки задачи.

AndreyL в сообщении #569627 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, хоть какой-то учебник.

Проблема в том, что я его не знаю. Помню что там как исключительно по лекциям. Не уверен что лекции читались по какому-либо учебнику.

[AndreyL]

nestoklon в сообщении #569667 писал(а):

Ну, может, напишете, что за система такая экзотическая. Очень сложно отвечать на ваши вопросы, не понимая постановки задачи.

Это самая обычная ситуация в магматической камере - сначала образуется каша из кристаллов и расплава, а потом расплав понемножку кристаллизуется

nestoklon в сообщении #569667 писал(а):

Проблема в том, что я его не знаю. Помню что там как исключительно по лекциям. Не уверен что лекции читались по какому-либо учебнику.

Ну хорошо, а что было в лекциях? Как выглядело уравнение массопереноса?

[nestoklon]

AndreyL в сообщении #569696 писал(а):

Как выглядело уравнение массопереноса?

Обычное уравнение диффузии. Что там ещё может быть?

[Alexandr007]

AndreyL в сообщении #569696 писал(а):

сначала образуется каша из кристаллов и расплава, а потом расплав понемножку кристаллизуется

Опять Вы хотите трехмерную задачу впихнуть в одномерную модель? Скорей всего эффективный коэффициент диффузии будет зависеть от % кристаллизации. Попробуйте написать для начала уравнения для тонкого капилляра, который постепенно затвердевает. Кстати затвердевание и плавление будет соответствовать разным уравнениям.

[AndreyL]

Alexandr007 в сообщении #569782 писал(а):

Опять Вы хотите трехмерную задачу впихнуть в одномерную модель? Скорей всего эффективный коэффициент диффузии будет зависеть от % кристаллизации. Попробуйте написать для начала уравнения для тонкого капилляра, который постепенно затвердевает. Кстати затвердевание и плавление будет соответствовать разным уравнениям.

Не нужно нам здесь трехмерную модель делать, и так половина констант с потолка берутся. Реально оценки идут только по порядку величин, интересует только принципиальная возможность вообще получить те эффекты, которые мы наблюдаем, точнее объяснить эти эффекты в рамках диффузионной модели.
Хорошо, а как будет выглядеть уравнение для тонкого постепенно затвердевающего капилляра?

[nestoklon]

AndreyL в сообщении #569791 писал(а):

интересует только принципиальная возможность вообще получить те эффекты, которые мы наблюдаем, точнее объяснить эти эффекты в рамках диффузионной модели

Скорее всего, ничего не получится. Если работает конвекция (а она из того что я понял скорее всего работает в полный рост), то ей всё и будет в основном определяться.

[Alexandr007]

AndreyL в сообщении #569791 писал(а):

уравнение для тонкого постепенно затвердевающего капилляра

Попробую нарисовать. Полагаем что капилляр сечением S затвердевает снизу, а сверху остается непрерывный жидкий канал сечением $S_l=S(1-f)$.
$S_l \cdot \frac{\partial C}{\partial t} =D\frac{\partial }{\partial x}(S_l\frac{\partial C}{\partial x})+(1-K)CS \frac{\partial f}{\partial t}$
Первое слагаемое диффузия, второе - затвердевание. Надеюсь ничего не забыл и не попутал.

[AndreyL]

Alexandr007 в сообщении #569839 писал(а):

$S_l \cdot \frac{\partial C}{\partial t} =D\frac{\partial }{\partial x}(S_l\frac{\partial C}{\partial x})+(1-K)CS \frac{\partial f}{\partial t}$

С правой частью согласен, а в левой по-моему немного не так, у меня получается вот:

$$S \cdot (1-f+K_d \cdot f) \frac{\partial C}{\partial t} $$

если $C$-концентрация примеси в расплаве