Плоский волновод. Спектр мод.

[H-farrier]

Помогите, пожалуйста, разобраться, откуда берется непрерывность спектра излучаемых мод в волноводе?
Пусть имеется плоский волновод с расстоянием между обкладками $d$.
Направим $Ox$ вдоль оси волновода, а $Oz$ - перпендикулярно обкладкам волновода. Показатель преломления

$$ n(z)=\begin{cases} 1,&\text{если $z\in[-d,0]$,}\\ n_0,&\text{если $z\notin[-d,0]$.}\\ \end{cases} $$

Поле, поляризованное вдоль $Oy$ будем искать в виде: $E(x,z)=E(z)e^{i\beta x}$, где

$$ E(z)=\begin{cases} Ce^{i\gamma z},&\text{если $z\geq 0$,}\\ Ae^{i\kappa z}+Be^{-i\kappa z},&\text{если $-d<z<0$,}\\ De^{-i\gamma (z+d)},&\text{если $z\leq -d$.} \end{cases} $$

Входящие сюда величины связаны соотношениями:
$\beta^2=K^2-\kappa^2=K^2n_0^2-\gamma^2$.
Будь $\gamma$ действительным (излучаемые моды) или мнимым (волноводные моды), у нас будет получаться при решении волнового уравнения дискретный набор собственных значений $\beta$, определяемых из уравнения

$$\left(\frac{\gamma+\kappa}{\gamma-\kappa}\right)^2=e^{2i\kappa d}. $$

[Alex-Yu]

H-farrier в сообщении #567763 писал(а):

Помогите, пожалуйста, разобраться, откуда берется непрерывность спектра излучаемых мод в волноводе?

Не ясно сформулирован вопрос. Во-первых что такое плоский волновод? Вроде раньше таких не было Были прямоугольные, круглые, эллиптические, коаксиальные и т.д.

Спектр всегда будет непрерывным, если есть направление, вдоль которого волна может распространяться сколь угодно далеко. Потому, что вдоль такого направления может быть зависимость вида $e^{ikx}$ и при этом волновое число $k$ НИЧЕМ не ограничивается, какое угодно. Дискретный спектр будет только если ограниченны все направления (это уже не волновод, а резонатор). Вот тогда граничные условия не позволят произвольную величину $k$.

-- Вс май 06, 2012 13:40:36 --

H-farrier в сообщении #567763 писал(а):

у нас будет получаться при решении волнового уравнения дискретный набор собственных значений $\beta$, определяемых из уравнения

Не будет получаться. Берете разные частоты (т.е. разные $K$ в Ваших обозначениях) и получаете разные $\beta$. Непрерывный спектр. А вот дисперсионных ветвей (т.е. зависимостей $\beta$ от $K$) будет действительно дискретный набор. Но это не имеет никакого отношения к дискретному спектру. Дискретный спектр это когда получается лишь дискретный набор частот. А здесь такого нет.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #567838 писал(а):

Во-первых что такое плоский волновод? Вроде раньше таких не было Были прямоугольные, круглые, эллиптические, коаксиальные и т.д.

Тю. Полосковые волноводы. Позор не знать.

[H-farrier]

В английской литературе это называется planar waveguid или slab waveguid - бутерброд из трех слоев (у нас - диэлектрик, воздух, диэлектрик).
Рассматривается падение на такой волновод монохроматической плоской волны, волновой вектор которой лежит в плоскости $Oxz$. То есть дискретность спектра подразумевается в смысле существования дискретного набора решений $\beta$ при заданном $K$. Это набор т.н. волноводных мод (waveguid modes), которые представляют собой стоячую волну в воздушной прослойке, а внутрь диэлектрика экспоненциально затухают. А есть еще решения, для которых поле осциллирует внутри диэлектрика (radiation modes). Набор $\beta$, отвечающий этим решениям, является непрерывным. Я пытаюсь понять, почему.

Да, $n_0$ - показатель преломления в диэлектрике - меньше единицы (рентгеновский диапазон).

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #567869 писал(а):

Полосковые волноводы.

Полосковый и плоский -- одно и то же? Ни в жисть бы не подумал Полосковые, конечно бывают. Причем во многих вариантах.

-- Вс май 06, 2012 15:51:38 --

H-farrier в сообщении #567872 писал(а):

То есть дискретность спектра подразумевается в смысле существования дискретного набора решений $\beta$ при заданном $K$.

Оригинальное понимание слов "дискретный спектр". В ТАКОМ смысле (при фиксированной частоте) он конечно дискретный, ни коем образом не непрервывный. Впрочем, тут еще зависит от того, двумерная это система или всеже одномерная. Если плоский "бутерброд", бесконечный в двух направлениях (впрочем, это уже трудно и волноводом-то назвать) то и при фиксированной частоте будет непрерывный набор возможных мод. По той простой причине, что есть континуум направлений распространения волны. В этом случае надо писать не $e^{i\beta x}$, а $e^{i(\beta_x x + \beta_y y)}$. Будет фиксирована только велчина $\beta_x^2 + \beta_y^2$ соотношение же $\beta_x$ и $\beta_y$ будет неопределено. Получим континуум мод. Даже при фиксированной частоте.

-- Вс май 06, 2012 16:00:27 --

H-farrier в сообщении #567872 писал(а):

Рассматривается падение на такой волновод монохроматической плоской волны, волновой вектор которой лежит в плоскости $Oxz$.

Хм... А при чем здесь вообще волноводные моды? Они с плоской волной не взаимодействуют Во всяком случае при отстутствии нерегулярностей. По той простой причине, что невозможно обеспечить условие фазового синхронизма. В общем сплошная путаница. Смысл того, что Вы пишите -- неопределен. Еще и рентген. Там, между прочем, подход сплошной среды вообще не годится (во всяком случае прямолинейно). Поскольку длина волны сравнима с межатомными расстояниями. Вы бы сформулировали проблему в экспериментальных терминах. Может тогда было бы и можно понять, что же Вам на самом деле надо.

[H-farrier]

Alex-Yu в сообщении #567884 писал(а):

В этом случае надо писать не $e^{i\beta x}$, а $e^{i(\beta_x x + \beta_y y)}$. Будет фиксирована только велчина $\beta_x^2 + \beta_y^2$ соотношение же $\beta_x$ и $\beta_y$ будет неопределено. Получим континуум мод. Даже при фиксированной частоте.

В падающей на волновод плоской волне отсутствует $K_y$-компонента волнового вектора, поэтому $\beta_y=0$.
Уравнение для $E(z)$ имеет вид:

$$\frac{d^2E(z)}{dz^2}+(K^2n(z)^2-\beta^2)E(z)=0.$$

Среди решений этого уравнения существуют собственные функции $E_m(z)$ с дискретным набором собственных значений ${\beta_m}$, которые экспоненциально затухают вглубь диэлектрика (guided modes), и собственные функции $E_{\alpha}(z)$ с непрерывным набором собственных значений ${\beta_{\alpha}}$, которые имеют осциллирующий характер внутри диэлектрика (radiation modes). Второй тип решения затухает при увеличении $x$ и на достаточно большом расстоянии от входной плоскости волновода будут распространяться лишь волноводные моды (guided modes).

Цитата:

Хм... А при чем здесь вообще волноводные моды? Они с плоской волной не взаимодействуют Во всяком случае при отстутствии нерегулярностей. По той простой причине, что невозможно обеспечить условие фазового синхронизма. В общем сплошная путаница. Смысл того, что Вы пишите -- неопределен.

Поскольку записанное уравнение для $E(z)$ представляет собой задачу Штурма-Лиувилля, система собственных функций которой ортогональна и полна (по крайней мере в пространстве непрерывных функций), любое поле на входе можно разложить по этим функциям и найти веса всех мод.

Цитата:

Еще и рентген. Там, между прочем, подход сплошной среды вообще не годится (во всяком случае прямолинейно). Поскольку длина волны сравнима с межатомными расстояниями.

Годится, если не учитывать брэгговскую дифракцию на кристаллических плоскостях, которая возникает только при определенных углах падения.

[Alex-Yu]

H-farrier в сообщении #568218 писал(а):

Среди решений этого уравнения существуют собственные функции $E_m(z)$ с дискретным набором собственных значений ${\beta_m}$, которые экспоненциально затухают вглубь диэлектрика (guided modes), и собственные функции $E_{\alpha}(z)$ с непрерывным набором собственных значений ${\beta_{\alpha}}$, которые имеют осциллирующий характер внутри диэлектрика (radiation modes).

Да конечно, волноводные моды не образуют полного набора. А в чем тогда вопрос? Вы же только волноводные искали.

Если хотите радиационные получить, то пишите уж тогда с одной стороны и падающую и отраженную волну, с другой -- прошедшую. А то Вы написали с обоих сторон лишь разбегающиеся от щели волны. Так радиационные моды не получатся. Пустая щель не может ни с того ни с сего начать излучать. Сама по себе Т.е. все дело в используемом анзаце. Он годится только для волноводных мод. Хотя в диэлектрике мнимую единицу сразу бы в волновое число включить, так естественней. Впрочем, и так можно, просто получится мнимая величина. Но ТОЛЬКО для волноводных мод.

[H-farrier]

Цитата:

Если хотите радиационные получить, то пишите уж тогда с одной стороны и падающую и отраженную волну, с другой -- прошедшую. А то Вы написали с обоих сторон лишь разбегающиеся от щели волны. Так радиационные моды не получатся. Пустая щель не может ни с того ни с сего начать излучать. Сама по себе Т.е. все дело в используемом анзаце.

Вот, именно это и хотелось услышать. То есть, при $z\geq 0$ необходимо еще добавить член $C_1e^{-i\gamma z}$, а при $z\leq -d$ $-$ член $D_1e^{i\gamma (z+d)}$, которые
отвечают как бы отражению от краев, унесенных на бесконечность?
Почему в приближении, когда на плюс-минус бесконечности диэлектрик неограничен, щель излучать не может?

[Alex-Yu]

H-farrier в сообщении #568381 писал(а):

Вот, именно это и хотелось услышать. То есть, при $z\geq 0$ необходимо еще добавить член $C_1e^{-i\gamma z}$, а при $z\leq -d$ $-$ член $D_1e^{i\gamma (z+d)}$

Можно только с одной стороны. Физически этого достаточно. Но, в принципе, можно и с двух.

-- Пн май 07, 2012 21:18:12 --

H-farrier в сообщении #568381 писал(а):

которые
отвечают как бы отражению от краев, унесенных на бесконечность?

Края тут абсолютно ни при чем. Просто для того, чтобы что-то отражалось, нужно иметь то, что отражается. А из ничего и будет ничего. Ну разве что бегущие по волноводу волноводные моды.

-- Пн май 07, 2012 21:22:17 --

H-farrier в сообщении #568381 писал(а):

Почему в приближении, когда на плюс-минус бесконечности диэлектрик неограничен, щель излучать не может?

А с чего ей излучать? Волноводные моды не могут преобразовываться в радиационные (в идеальной ситуации, какую-нибудь примесь, нерегулярность надо чтобы такое преобразование было). Иначе бы этих волноводных мод не было, они бы "вытекли" в излучение на бесконечном расстоянии. И был бы голимый ноль Такое (тривиальное) решение, конечно же всегда есть.

[H-farrier]

Цитата:

Можно только с одной стороны. Физически этого достаточно.

Можно здесь немного поподробней?

Цитата:

Края тут абсолютно ни при чем. Просто для того, чтобы что-то отражалось, нужно иметь то, что отражается. А из ничего и будет ничего.

Если краев не существует, на каком основании мы включаем волну бегущую из бесконечности к щели?

[Alex-Yu]

H-farrier в сообщении #568396 писал(а):

Если краев не существует, на каком основании мы включаем волну бегущую из бесконечности к щели?

Я имел в виду края щели. На каком основании падающая волна? Ну физически подразумевается, что где-то там на бесконечности есть источник волн. А иначе тривиальное нулевое решение.

-- Пн май 07, 2012 21:34:04 --

H-farrier в сообщении #568396 писал(а):

Цитата:
Можно только с одной стороны. Физически этого достаточно.

Можно здесь немного поподробней?

Не могу представить себе экспериментальную ситуацию, когда на щель когеррентно светят с двух сторон сразу. Ну разве что специально и весьма экспериментально нетривиально это можно сделать. Но самое главное не понятно зачем. Вы какую ФИЗИЧЕСКУЮ задачу решаете? Или просто так, разговор ни о чем, о модах самих по себе? Тогда с этим не ко мне, с этим к математикам. Они Вам понараскажут о каких-нибудь неймановских индексах дефекта. Но меня это абсолютно (!) не интересует

Решение для ситуации, когда светят с двух сторон, всегда можно получить как сумму решений с освещением с одной стороны. Все содержательное есть уже в этой ("односторонней") ситуации.

[H-farrier]

Цитата:

Я имел в виду края щели. На каком основании падающая волна? Ну физически подразумевается, что где-то там на бесконечности есть источник волн. А иначе тривиальное нулевое решение.

Опять мы начинаем отклоняться в сторону. Речь идет о волнах, бегущих к щели и от нее в $z$-направлении, т.е. перпендикулярно направлению оси щели.
При $z>0$ член $Ce^{i\gamma z}$ отвечает волне бегущей от щели, а член $C_1e^{-i\gamma z}$ - к щели. Откуда он возникает, если диэлектрик ничем не ограничен на плюс бесконечности?

[Alex-Yu]

H-farrier в сообщении #568423 писал(а):

Откуда он возникает, если диэлектрик ничем не ограничен на плюс бесконечности?

Неограниченных диэлектриков, заполняющих всю Вселенную, не бывает. Чтобы в диэлектрике бегали какие-то рентгеновские волны, надо рентгеновской трубкой посветить. Иначе и волн-то никаких не будет. Вы что, чистый математик? Тогда разговора не получится, зря я отвечать взялся... За сим откланиваюсь.

[H-farrier]

Цитата:

Неограниченных диэлектриков, заполняющих всю Вселенную, не бывает.

В задачах геометрической оптики диэлектрики, заполняющие половину Вселенной, встречаются сплошь и рядом. Вот рассмотреть падение плоской волны на однородную среду с показателем преломления $n$, в среде мы будем брать только прошедшую волну без всяких волн, отраженных от "дна" среды, которое, как Вы утверждаете, существует всегда. Да, существует. Но мы отбрасываем эту волну, потому что понимаем, что на самом деле среда все-таки поглощает и до того далекого "дна" почти ничего не дойдет.

В волноводной же задаче почему-то учитываются обе волны. Меня интересует, почему?

[Alex-Yu]

H-farrier в сообщении #568443 писал(а):

Вот рассмотреть падение плоской волны на однородную среду с показателем преломления $n$, в среде мы будем брать только прошедшую волну без всяких волн, отраженных от "дна" среды, которое, как Вы утверждаете, существует всегда.

Вот-вот, с простой задачей отражения и разберитесь сначала. Там всегда с той стороны, где падающая волна, есть и отраженная волна. А с другой стороны -- только прошедшая. Но вот чего не бывает, так это чтобы от границы раздела убегали две волны при отсутствии падающей волны. Как Вы сначала написали. Вечный двигатель какой-то, волны, несущие энергию, возникающие из ничего

-- Вт май 08, 2012 13:05:52 --

H-farrier в сообщении #568443 писал(а):

В волноводной же задаче почему-то учитываются обе волны. Меня интересует, почему?

Потому что волновое число мнимое. Поперек щели ничего не распространяется. Вся энергия "дует вдоль щели", лишь слегка и ненадолго проникая в диэлектрик. Проникла, и обратно. И опять снова Волновод он и есть волнновод. Тоже самое, кстати, с поверхностными волнами.

В принципе, в Вашей задаче может быть и что-то вроде полного внутреннего отражения. Когда с одной стороны падающая волна и отраженная. А с другой только экспоненциально затухающая (мнимое волновое число). Для этого, правда, придется взять разные диэлектрики с двух сторон. Впрочем, это частный случай, когда волновое число прошедшей волны оказывается мнимым.