Плоский волновод. Спектр мод.

[H-farrier]

Я Вас примерно понял.
Давайте рассмотрим симметричную ситуацию, когда на волновод падает плоская монохроматическая волна с волновым вектором вдоль оси волновода, т.е. $E_{in}({\bf{r}})=E_{in}e^{iKx}$. Как тогда получится, что при рассмотрении радиационных мод достаточно добавить падающую на щель волну только с одной из ее сторон?

[Alex-Yu]

H-farrier в сообщении #568750 писал(а):

Давайте рассмотрим

Делайте что хотите. А мне надоело из пустого в порожнее переливать.

[Alex-Yu]

H-farrier в сообщении #568750 писал(а):

при рассмотрении радиационных мод

Кажется я понял чего Вы хотите: что-то вроде диэлектрической антенны.. Надо было сразу сказать что за ФИЗИЧЕСКАЯ задача, а не морочить голову падающей волной. Тогда ответ простой: сделайте комплексным волновое число вдоль щели. Если поле из щели излучается, то поле в щели уменьшается "по ходу дела". На один параметр станет больше -- возникнет непрерывный набор решений.

А вообще такие задачи решаются не так. Мне не приходилось решать в точности такую задачу, но я решал похожую: возбуждение линии Губо током. Предполагаю здесь должно быть похоже. Далее чисто предположительно (решайте сами, мне не досуг). Перейдите к неоднородной задаче, добавьте точечный источник волн. Решается это так. Делаете преобразование Фурье (лишь двумерное!) по x и y (вдоль щели). Получаете обыкновенное неоднородное диффуранение, которое в два счета решается методом вариации постоянных. Далее, когда будете делать обратное преобразование Фурье методами ТФКП, у Вас возникнет вклад полюсов (волноводные моды) и вклад разреза (излучение за пределы щели).

[H-farrier]

Спасибо. На самом деле, мне нужно просто посчитать картину Фраунгофера на выходе волновода сначала при падении на него плоской волны, а затем более реального пучка, например, Гауссова. Это я посчитал. Нашел волноводные моды, их веса (скалярные произведения падающего поля на моду) и посчитал картину дифракции. Но хотелось еще и с радиационными разобраться. С подсчетом их весов у меня и возникла трудность. Потому что степени свободы там получается не одна, как Вы говорите (на один параметр больше), а две, поскольку одному и тому же $\beta$ могут отвечать разные радиационные моды, например,

$$ E_1(z)=\begin{cases} C_1e^{i\gamma z}+\widetilde C_1e^{-i\gamma z},&\text{$z\geq 0$,}\\ A_1e^{i\kappa z}+B_1e^{-i\kappa z},&\text{$-d<z<0$,}\\ D_1e^{-i\gamma (z+d)},&\text{$z\leq -d$.} \end{cases} E_2(z)=\begin{cases} C_2e^{i\gamma z},&\text{$z\geq 0$,}\\ A_2e^{i\kappa z}+B_2e^{-i\kappa z},&\text{$-d<z<0$,}\\ D_2e^{-i\gamma (z+d)}+\widetilde D_2e^{i\gamma (z+d)},&\text{$z\leq -d$.} \end{cases} $$

а потому и любая их линейная комбинация. Думаю, что эти две моды образуют базис (среди всех мод, отвечающих одному $\beta$). Тогда останется его ортогонализировать и вопрос, возникший у меня на данном этапе, будет исчерпан :)

[Alex-Yu]

H-farrier в сообщении #569241 писал(а):

На самом деле, мне нужно просто посчитать картину Фраунгофера на выходе волновода сначала при падении на него плоской волны, а затем более реального пучка, например, Гауссова.

Вот с этого и надо было начинать. Хотя физическую постановку я всеже не понял. Ну падает пучок на эту щель, ну и что? Волноводные моды при этом не возбуждаются. Это вообще проблема как возбудить поверхностную (волноводная похожа) волну падающей плоской (и даже гауссовой) волной. Для этого народ специально изгаляется: какие-то нерегулярности добавляет (лучше что-то вроде решетки), метод нарушенного внутреннего отражения применяет и т.д. Подумайте, не настаиваю, но кажется с этой задачей у Вас не все в порядке. Скалярное произведение падающей плоской волны на волноводную равно нулю. По очень простой причине: не может быть фазового синхронизма (интегрирование по xy дает всегда ноль, волновое число вдоль щели всегда разное, именно поэтому волноводная мода и является волноводной: бежит себе вдоль волновода и никуда не "утекает").

Обстоятельно думать о Вашей задаче я не могу себе позволить. Вон на столе лежит сотня страниц занудных выкладок, которые надо проверить. И в два раза больше написать еще Могу сказать только то, что сразу в голову приходит. Вообще такие "радиационные моды" естественно возникают именно в неоднородной задаче, когда есть источник (можно точечный). Я писал ранее. У Вас посложнее, преобразование Фурье будет двумерным (у меня с линией Губо было одномерное). Но, думаю, будет что-то похожее: волноводные моды будут соответсвовать полюсам, а радиационные -- разрезу. Это и чистой математике более соответствует: там непрерывный спектр рассматривается через резольвенту (функцию Грина, решение неоднородной задачи с точечным источником).

Да и вообще нужны ли тут какие-то там моды? Пусть этим чистые математики забавляются Любая физическая задача тут решается через двумерное преобразование Фурье и дальше честно решается обыкновенный диффур по z. Просто и без затей. А с модами можно "залететь", есть там тонкости с бесконечномерными пространствами, особенно в случае непрерывного спектра.

[H-farrier]

Цитата:

Волноводные моды при этом не возбуждаются. [...] Скалярное произведение падающей плоской волны на волноводную равно нулю.

Да ну. Можно взять самый наглядный случай нормального падения и когда ширина щели намного больше глубины проникновения поля возбуждаемой моды в диэлектрик, тогда проекцию можно искать как интеграл по ширине щели от амплитуды стоячей волны и получить вполне ненулевое число.
Спасибо за советы! ;)

[Alex-Yu]

H-farrier в сообщении #569564 писал(а):

Да ну. Можно взять самый наглядный случай нормального падения и когда ширина щели намного больше глубины проникновения поля возбуждаемой моды в диэлектрик

Такая волноводная мода не существует. Полного внутреннего отражения при нормальном падении не бывает. Собственно что такое волноводные моды при большой ширине щели? Это когда на границах щели получается полное внутреннее отражение. Подумайте, здесь я Вам говорю полнейшие банальности. С которыми спорить...

При нормальном падении возможны резонансы. Обычный интерферометр Фабри-Перо получается. Но это ни в коем случае не волноводные моды.

-- Пт май 11, 2012 14:41:33 --

H-farrier в сообщении #569564 писал(а):

от амплитуды стоячей волны

Стоячей волны при неполном отражении от концов интервала не бывает. Это не стоячая волна. Полюс восприимчивоссти по частоте комплексный а не чисто действительный.

[H-farrier]

Alex-Yu, у нас с Вами опять недопонимание, я под нормальным падением подразумеваю случай, когда волновой вектор падающей волны имеет только $x$-компоненту.
В общем, все там получается. Еще раз спасибо!

[Alex-Yu]

H-farrier в сообщении #569685 писал(а):

я под нормальным падением подразумеваю случай, когда волновой вектор падающей волны имеет только $x$-компоненту.

Оригинальное понимание слов "нормальное падение" Но даже если так, то ноль и подавно. При одинаковой частоте волновой вектор волноводной моды и падающей волны разный. В итоге интеграл от осциллирующей функции, равный нулю

-- Пт май 11, 2012 21:33:47 --

H-farrier в сообщении #569685 писал(а):

В общем, все там получается.

Охотно верю, что у Вас такое "получается". Только к физике (и вообще к реальным волнам) это не имеет ни малейшего отношения