Имеет ли эта последовательность предел?

[Integrall]

мат-ламер в сообщении #567616 писал(а):

Поскольку последовательность ограничена, то у неё должна быть предельная точка, и, очевидно, единственная, которая и будет пределом.

контрпример $x_n = (-1)^n$

[Хорхе]

_mv в сообщении #567610 писал(а):

$a_n=\sin \sum_{k=1}^n 1/k $
Да, я как раз ее имел в виду раньше, но не могу строго доказать, что для нее $|a_{n+1}-a_n|<1/n$
(как это лучше сделать?)

Хорхе в сообщении #567577 писал(а):

И производная у синуса маленькая :)

[KaHDal]

не стал все читать, но ведь речь идет о последовательности, а данная последовательность сходится.

[мат-ламер]

Integrall в сообщении #567621 писал(а):

мат-ламер в сообщении #567616 писал(а):

Поскольку последовательность ограничена, то у неё должна быть предельная точка, и, очевидно, единственная, которая и будет пределом.

контрпример $x_n = (-1)^n$

Там в условии говорится, что расстояние между соседними членами последовательности стремится к нулю.

[Dragon27]

мат-ламер в сообщении #567667 писал(а):

Там в условии говорится, что расстояние между соседними членами последовательности стремится к нулю.

Он привёл контрпимер к вашим рассуждениям.
А то, что расстояние стремится к нулю - ерунда. Алгоритм построения последовательности уже привели (можете придумать какой-нибудь красивый формульный вид), чего ещё надо?

[Integrall]

_mv в сообщении #567610 писал(а):

TOTAL
Если я Вас правильно понял, Вы предлагаете взять последовательность
$a_n=\sin \sum_{k=1}^n 1/k $
Да, я как раз ее имел в виду раньше, но не могу строго доказать, что для нее $|a_{n+1}-a_n|<1/n$
(как это лучше сделать?)


Integrall

Integrall в сообщении #567416 писал(а):

ведь пройденный путь - сумма гармонического ряда

Цитата:

Могу

Приведите, пожалуйста.

Сожалею, но правила форума запрещают выкладывать готовые решения. Практически за вас уже сделали всё. И дважды намекал Хорхе как проверить условие $|a_{n+1}-a_n|<1/n$. «Дерзайте ищите и обрящете»

[_mv]

Integrall
За меня здесь никто ничего не делал.
Как мне кажется, по моим сообщениям видно, что я небезграмотен в математическом плане и правильно рассуждаю. Конечно, я не призываю Вас перечитывать всю тему, полагаясь на Вашу внимательность (несмотря на то, что Вы сначала предложили гармонический ряд в качестве решения), но задачу я практичечски решил. Мне не хватает строгости в рассуждениях. Если Вы действительно можете привести пример такой последовательности (а самое важное, доказать, что она подходит под эти пункты) - прошу вас привести, в конце концов, для этого есть личная почта. А вдруг такой последовательности вообще нет?

[Dragon27]

Ну как это нет! Её можно построить вручную до какого угодно члена, уже давно показано как.

[_mv]

Integrall
За меня здесь никто ничего не делал.
Как мне кажется, по моим сообщениям видно, что я небезграмотен в математическом плане и правильно рассуждаю, но, видимо, упускаю из виду какую-то очевидную вещь:(
Конечно, я не призываю Вас перечитывать всю тему, полагаясь на Вашу внимательность (несмотря на то, что Вы сначала предложили гармонический ряд в качестве решения), но задачу я практически решил. Мне не хватает строгости в рассуждениях. Как Вы могли заметить, читая тему, она на 80% состоит из глупостей, кроме сообщений от Вас и г-на Хорхе.
Я знаю последовательность, и я придумал ее сам, для которой выполнены оба условия, но второе - начиная с некоторого $N>1$.
Это $a_n=\sin \sum_{k=1}^n 1/k$
Я же хочу представить последовательность, для которой второе условие выполнено для всех натуральных $n$.
Если Вы действительно можете привести пример такой последовательности (а самое важное, доказать, что она подходит под эти пункты) - прошу вас привести, в конце концов, для этого есть личная почта. А вдруг такой последовательности вообще нет?



Dragon27

Dragon27 в сообщении #567978 писал(а):

Ну как это нет! Её можно построить вручную до какого угодно члена, уже давно показано как.

Кем показано? Вы об этом?

Dragon27 в сообщении #567395 писал(а):

Я думаю, она может сколько угодно, скажем, бегать от одного какого-нибудь числа до другого, достаточно только в нужный момент (когда очередная частичная сумма ряда подберётся достаточно близко к нужному числу) менять знак последующих членов (и она пойдёт обратно к другому числу), ведь остаточный член ряда всегда неограничен. Или просто, когда частичная сумма ряда становится больше второго числа, или меньше первого. Получается такой словесный алгоритм построения последовательности, ничем не хуже других, в принципе :)

Тогда приведите мне явный, а не словесный, пример такой последовательности, чтобы для нее выполнялось условие $|a_{n+1}-a_n|<1/n$ для всех $n$.

[Dragon27]

_mv в сообщении #567981 писал(а):

Тогда приведите мне явный, а не словесный, пример такой последовательности

А чем вам не нравится словесный пример? Вы не можете построить пример по словам? По этим словам можно спокойно написать программу, и компьютер выдаст вам столько членов последовательности, на сколько у него памяти хватит.

[_mv]

Dragon27
Уважаемый!! Вся соль задачи в том, чтобы привести пример не численный, а... аналитический, что-ли...
Но все равно спасибо!

[мат-ламер]

_mv в сообщении #567992 писал(а):

Вся соль задачи в том, чтобы привести пример не численный, а... аналитический

Соль задачи может быть совсем в другом.

[Dragon27]

Для красивого формульного задания, думаю, наверняка можно воспользоваться тем, что ряд увеличивается асимптотически как $\ln(n)$.

[INGELRII]

$a_n=\sin \sum_{k=1}^n 1/k $
Прекрасно подойдет. $|a_{n+1}-a_n|=|\sin \sum_{k=1}^{n+1} - \sin \sum_{k=1}^n|$
Формулу разности синусов знаете? Чему равно $\sin a - \sin b$? Ну вот и распишите разность синусов под модулем. В синусе будет разность двух сумм. Как ее упростить, догадаетесь сами. Косинус можно оценить сверху просто единичкой. В конце получится доказать, что разность соседних членов прогрессии меньше по модулю даже не $1/n$, а $\frac{1}{n+1}$.

[Профессор Снэйп]

_mv в сообщении #567610 писал(а):

$a_n=\sin \sum_{k=1}^n 1/k $
Да, я как раз ее имел в виду раньше, но не могу строго доказать, что для нее $|a_{n+1}-a_n|<1/n$
(как это лучше сделать?)

$$ | \sin\alpha - \sin\beta | \leqslant | \alpha - \beta | $$

При $\alpha \neq \beta$ неравенство становится строгим.

-- Вс май 06, 2012 20:09:09 --

Кстати, это неравенство можно доказать без всяких производных. Надо использовать неравенство $| \sin \alpha | \leqslant | \alpha |$ и тригонометрическую формулу для разности синусов. А как доказывать используемое неравенство... ну, это смотря как мы определяем синус. Если как в школе, то всё просто: значение угла - длина дуги единичной окружности, а значение синуса - длина перпендикуляра к оси абсцисс; перпендикуляр - кратчайшее расстояние от точки до прямой.