Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Есть у меня такая задачка:
"Пусть
![$a_n$ $a_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/1/6512cbd0d448700a036bf3a691c37acc82.png)
-
ограниченная последовательность вещественных чисел. Известно, что для каждого
![$n \in \mathbb{N}$ $n \in \mathbb{N}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/4/4a415bbf49a001f40d8a11fe8367d5bc82.png)
выполняется
![$|a_{n+1}-a_n|<1/n$ $|a_{n+1}-a_n|<1/n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/f/95faa8ad121375935123df60d44a24ad82.png)
Обязательно ли эта последовательность имеет предел? Если нет, то приведите пример".
Мне почему-то кажется, что ответ на этот вопрос - нет. Но привести пример такой последовательности не могу.
Рассуждение: пусть существует
![$\lim a_n =a $ $\lim a_n =a $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/c/6ac83737b376428e63f1ddfa2f24af0582.png)
. Неравенство из условия легко преобразуется в такое:
![$-1/n+a_n<a_{n+1}<1/n+a_n$ $-1/n+a_n<a_{n+1}<1/n+a_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbf8135f12431c5d201baf189555372982.png)
.
Чтобы без нареканий применить теорему о двух милиционерах, мы можем немного ослабить условие и взять нестрогое неравенство:
![$-1/n+a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant 1/n+a_n$ $-1/n+a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant 1/n+a_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/a/a1ab12b8833f81821f57da169c1f044c82.png)
Теперь, переходя к пределу и спокойно применяя теорему о двух милиционерах (свойство предела, связанное с неравенствами), получаем верное неравенство
![$a \leqslant a \leqslant a$ $a \leqslant a \leqslant a$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/1/d41ef3ba8c98037a3e667aa0e7f0736e82.png)
.
Ладно, противоречий нет.
Пробуем с другой стороны. Раз последовательность ограниченная, значит, по теореме Больцано-Вейерштрасса у нее существует частичный предел. Пробуем рыть через определение фундаментальной последовательности (последовательности Коши).
Так как
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
- полное метрическое пространство, то в нем всякая фундаментальная последовательность сходится (и всякая сходящаяся фундаментальна - само собой).
Из неравенства в условии легко получаем
![$|a_{n+2}-a_n|<2/n$ $|a_{n+2}-a_n|<2/n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/2/2428cd4a8d6b9476ccdfdc4ec25ebb3082.png)
и
![$|a_{n+k}-a_n|<k/n$ $|a_{n+k}-a_n|<k/n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/5/ea5b7f0c3d4a87e24a94764de7155ad982.png)
.
А теперь я пытаюсь установить или опровергнуть фундаментальность этой последовательности, но ничего не выходит.
Пожалуйста, подскажите, как решается задача.
Спасибо.