трегинометрия

[Алексей К.]

Кароче, AsiR, пока не уволили, нарушу перед смертью правила. У Вас есть два числа, $a$ и $b$, ранее названные "синус" и "косинус". В условии сказано $a+b=-0.5$. Но, оказывается, эти числа не совсем от фонаря: ребята тут какое-то тождество поминают, типа $a^2+b^2=1$.
Может, мы сумеем из этих двух уравнений конкретно (тупо) сосчитать $a$ и $b$, а потом сумму их шестых степеней? Да хоть трёхсотых степеней!!!

Прощайте.

-- 02 май 2012, 22:46:10 --

Вау, сколько понаписали! Спасибо всем сочуйствующим!

[AsiR]

я сократил и у меня получилось $ 3 \cos^4 x - 2 \cos^2 x +1$

[Keter]

AsiR в сообщении #566684 писал(а):

я сократил и у меня получилось $ 3 \cos^4 x - 2 \cos^2 x +1$

Что Вы сократили???

У нас есть

$$\sin^6 x + \cos^6 x = \sin^4 x -\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x$$

[Shadow]

А у меня
$\\a_0=2\\ a_1=-\frac 1 2\\ a_{n+1}=-\frac 1 2 a_n+\frac 3 8 a_{n-1}$

[Алексей К.]

Уточню: у Вас было $\sin^6 x+\cos^6 x{\color{magenta}{}=???}$.
Вы сократили на $\sin^2x+\cos^2x=1$ и

AsiR в сообщении #566684 писал(а):

и у меня получилось $ 3 \cos^4 x - 2 \cos^2 x +1{\color{magenta}{}=???}$ (искажение цитаты моё. АК)

Легче стало? Стало меньше вопросиков?

-- 02 май 2012, 23:02:07 --

Систему ту порешайте, да.

[Keter]

Shadow в сообщении #566691 писал(а):

А у меня
$\\a_0=2\\ a_1=-\frac 1 2\\ a_{n+1}=-\frac 1 2 a_n+\frac 3 8 a_{n-1}$

Зачем? Задача тривиальная и не требует никаких особых знаний, кроме решение уравнений и тригонометрических тождеств.

$$\sin^6 x + \cos^6 x = \sin^4 x -\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x$$

Мы можем узнать чему равно $\sin^2 x\cos^2 x$, возведя в квадрат $\sin x+\cos x$

-- 02.05.2012, 21:08 --

$(-0,5)^2 = 1+2\sin x \cos x$

$(\frac{0,25 - 1}{2})^2 = \sin^2 x \cos^2 x$

$\sin^2 x \cos^2 x = 9/64$

-- 02.05.2012, 21:13 --

Теперь ищем $\sin^4 x + \cos^4 x$

$(\sin^2 x + \cos^2 x)^2=\sin^4 x +2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x$

$\sin^4 x +2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x=1$

$\sin^4 x + \cos^4 x=1-2\sin^2 x \cos^2 x$

[AsiR]

$(\sin x+ \cos x)^2 - 2 \sin x \cdot \cos x=\sin^2 x \cdot \cos^2 x$

[Shadow]

Да, решение которое предложил для более неприятных степеней.
AsiR последнее неверно

[Keter]

AsiR в сообщении #566698 писал(а):

$(\sin x+ \cos x)^2 - 2 \sin x \cdot \cos x=\sin^2 x \cdot \cos^2 x$

Что это??? $(\sin x+ \cos x)^2 - 2 \sin x \cdot \cos x = \sin^2 x + 2\sin x \cdot \cos x + \cos^2 x - 2 \sin x \cdot \cos x $

-- 02.05.2012, 21:21 --

Shadow в сообщении #566702 писал(а):

Да, решение которое предложил для более неприятных степеней.
AsiR последнее неверно

Уже написали))

[spaits]

AsiR в сообщении #566698 писал(а):

$(\sin x+ \cos x)^2 - 2 \sin x \cdot \cos x=\sin^2 x \cdot \cos^2 x$

(Оффтоп)

Здрасьте!

[Алексей К.]

AsiR,

Алексей К. в сообщении #566692 писал(а):

Систему ту порешайте, да.

$$\begin{cases}a+b=-0.5,\\a^2+b^2=1.\end{cases}$$

Эти ребята Вас замучают своей продвинутостью. Тупо решим, потом можно попридуриваться, помудрить, повыпендриваться. Посравнивать.

[Keter]

Можно и систему решить.

-- 02.05.2012, 21:32 --

Только как же из этой системы Вы собираетесь выбирать какое именно значение $b$ подходит?

[AsiR]

допустим $a_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{4}}$

[Keter]

К тому же следовать последовательным преобразованиям и получать то, что нужно для ответа куда легче, чем возводить потом в шестую степень. Не так ли?

-- 02.05.2012, 21:36 --

AsiR в сообщении #566712 писал(а):

допустим $a_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{4}}$

Поверьте мне, Вам это не нужно))

-- 02.05.2012, 21:39 --

$$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x -\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x)$$

$$\sin^6 x + \cos^6 x = \sin^4 x -\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x$$

$(\sin x + \cos x)^2=\sin^2 x + \cos^2 x +2\sin x \cos x$

$(-0,5)^2 = 1+2\sin x \cos x$

$(\frac{0,25 - 1}{2})^2 = \sin^2 x \cos^2 x$

$\sin^2 x \cos^2 x = 9/64$

Теперь ищем $\sin^4 x + \cos^4 x$

$(\sin^2 x + \cos^2 x)^2=\sin^4 x +2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x$

$\sin^4 x +2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x=1$

$\sin^4 x + \cos^4 x=1-2\sin^2 x \cos^2 x$

$\sin^4 x + \cos^4 x=1-2 \cdot 9/64$

$\sin^4 x + \cos^4 x=23/32$

Вам осталось сделать последний шаг: сложить

$$\sin^6 x + \cos^6 x = \sin^4 x +\cos^4 x -\sin^2 x\cos^2 x$$

[Алексей К.]

AsiR в сообщении #566712 писал(а):

допустим $a_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{4}}$

И $b_{1,2}=\frac{-1\mp\sqrt7}{4}$. Заметьте значок "\mp", $\mp$.
Вычисляем $A=a^2$, $B=b^2$. Потом останется узнать $A^3+B^3=a^6+b^6.$