У любых двух из 20 детей в школе есть общий дед...

[ton007]

У любых двух из 20 детей в школе есть общий дед. Доказать, что у одного из дедов учится не менее 14 внуков и внучек.

[RIP]

Допустим обратное.
Возьмем любого ребятенка. У него два дедушки - 1 и 2. Каждое остальное дитя приходится внуком одному из них. Найдется ребенок, не являющееся внуком дедушки 1. У него дедушки 2 и 3. Найдется дитя, не являющееся внуком дедушки 2. У него дедушки 1 и 4. Легко видеть, что на самом деле 4 - лишь псевдоним дедушки 3, и других дедушек, кроме 1, 2 и 3, нету. У одной из пары дедушек $1-2,1-3,2-3$ не более $[20/3]=6$ внучат. У оставшегося дедушки тогда не менее 14 внуков. Противоречие.