2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение01.05.2012, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
$X$- компактное метрическое пространство с метрикой $\rho$. $f:X\to X$- непрерывное отображение для которого $\rho (f(x),f(y))<\rho (x,y),x\ne y$. Как доказать, что $f$ имеет неподвижную точку и будет ли она единственной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение01.05.2012, 20:47 


15/01/09
549
Возьмите две точки рядом и проитерируйте ваше неравенство. Посмотрите, что получится. А насчёт единственности. Подставьте неподвижные точки в неравенство, если их несколько.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение01.05.2012, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7135
См. также Данфорд и Шварц. Линейные операторы. т.1. Пар. 5.10. Теорема Шаудера - Тихонова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение01.05.2012, 21:50 


10/02/11
6786
мат-ламер в сообщении #566374 писал(а):
См. также Данфорд и Шварц. Линейные операторы. т.1. Пар. 5.10. Теорема Шаудера - Тихонова.

вот сами и см. также :lol1:

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение01.05.2012, 22:05 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Рассмотрите функцию $F(x)=\rho (x,\ f(x)).$
Как функция (числовая) непрерывная на компакте, она в некоторой точке достигает минимума.
Что можно сказать об этой точке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение01.05.2012, 22:12 


10/02/11
6786
hippie
Я всроминаю такую задачу. Пусть $X,\rho$ -- метрическое пространство и $f:X\to X,\quad\rho(f(x),f(y))<\rho(x,y),\quad x\ne y$. Доказать, что если последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$ содержит сходящуюся подпоследовательность то $f$ имеет неподвижную точку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение01.05.2012, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Предположим, что $\inf\limits_{x\in X}\rho (f(x),x)=\rho(f(x_0),x_0)=a>0$, тогда $\rho(f(x_0),ff(x_0))<a$. Противоречие. А про последовательности я что-то не совсем понял, точнее совсем не понял. Рассматривая последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$ выделяю подпоследовательность $x_{n_k}\to x^{(1)}$, тогда $f(x_{n_k})=x_{n_k+1}\to f(x^{(1)})$, а как доказать, что $x_{n_k+1}\to x^{(1)}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение02.05.2012, 07:54 


10/02/11
6786
это не децкая задача

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение02.05.2012, 07:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #566483 писал(а):
это не децкая задача

Во-первых, правильно говорить "не деццкая". Во вторых:

hippie в сообщении #566389 писал(а):
Как функция (числовая) непрерывная на компакте, она в некоторой точке достигает минимума.
Что можно сказать об этой точке?

Так может ли этот минимум быть ненулевым?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение02.05.2012, 11:14 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Oleg Zubelevich в сообщении #566392 писал(а):
hippie
Я вспоминаю такую задачу. Пусть $X,\rho$ -- метрическое пространство и $f:X\to X,\quad\rho(f(x),f(y))<\rho(x,y),\quad x\ne y$. Доказать, что если последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$ содержит сходящуюся подпоследовательность то $f$ имеет неподвижную точку.

Поскольку последовательность $\rho(x_n, x_{n+1})$ невозрастает и ограничена снизу, то существует предел $\rho_0 = \lim\limits_{n\to\infty} \rho(x_n, x_{n+1}).$
Пусть $y = \lim\limits_{k\to\infty} x_{n_k}.$ Тогда $f(y) = \lim\limits_{k\to\infty} x_{n_k+1}$ и $f(f(y)) = \lim\limits_{k\to\infty} x_{n_k+2}.$
Следовательно, $\rho (f(f(y)), f(y)) = \lim\limits_{k\to\infty} \rho (x_{n_k+2}, x_{n_k+1}) = \rho_0 = \lim\limits_{k\to\infty} \rho (x_{n_k+1}, x_{n_k}) = \rho (f(y), y),$ а это возможно только при $\rho (f(y), y)=0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение02.05.2012, 11:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
ewert в сообщении #566484 писал(а):
Так может ли этот минимум быть ненулевым?

Не может, это противоречит тому что на $X$ достигается минимум $f$. Тогда, если минимум нулевой, понятно что неподвижная точка будет.
hippie
Не понимаю. Последовательность $\rho (x_n,x_{n+1})$- убывает. И тогда если $\rho_0=0$, то $\rho (f(f(y)),f(y))<\rho (f(y),y)=0$, как такое возможно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение02.05.2012, 13:47 
Заслуженный участник


18/01/12
933
xmaister в сообщении #566521 писал(а):
Не понимаю. Последовательность $\rho (x_n,x_{n+1})$ — убывает. И тогда если $\rho_0=0$, то $\rho (f(f(y)),f(y))<\rho (f(y),y)=0$, как такое возможно?

Не понимаю, откуда у Вас появилось неравенство $\rho (f(f(y)), f(y)) < \rho (f(y), y).$
У меня было доказано, что наоборот — всегда выполнено точное равенство $\rho (f(f(y)) , f(y)) = \rho (f(y) , y) = \rho_0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение02.05.2012, 16:26 


10/02/11
6786
hippie в сообщении #566518 писал(а):
Oleg Zubelevich в сообщении #566392 писал(а):
hippie
Я вспоминаю такую задачу. Пусть $X,\rho$ -- метрическое пространство и $f:X\to X,\quad\rho(f(x),f(y))<\rho(x,y),\quad x\ne y$. Доказать, что если последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$ содержит сходящуюся подпоследовательность то $f$ имеет неподвижную точку.

Поскольку последовательность $\rho(x_n, x_{n+1})$ невозрастает и ограничена снизу, то существует предел $\rho_0 = \lim\limits_{n\to\infty} \rho(x_n, x_{n+1}).$
Пусть $y = \lim\limits_{k\to\infty} x_{n_k}.$ Тогда $f(y) = \lim\limits_{k\to\infty} x_{n_k+1}$ и $f(f(y)) = \lim\limits_{k\to\infty} x_{n_k+2}.$
Следовательно, $\rho (f(f(y)), f(y)) = \lim\limits_{k\to\infty} \rho (x_{n_k+2}, x_{n_k+1}) = \rho_0 = \lim\limits_{k\to\infty} \rho (x_{n_k+1}, x_{n_k}) = \rho (f(y), y),$ а это возможно только при $\rho (f(y), y)=0.$

Даааа, Вы класс продемонстрировали. Это результат Эдельштейна, в монографии Эдвардса по функциональному анализу он предлагается в качестве задачи. Так вот план доказательства, который там приведен, гораздо сложнее, чем то, что Вы написали. Мои поздравления!

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение04.05.2012, 01:05 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Oleg Zubelevich в сообщении #566560 писал(а):
Это результат Эдельштейна, в монографии Эдвардса по функциональному анализу он предлагается в качестве задачи. Так вот план доказательства, который там приведен, гораздо сложнее, чем то, что Вы написали.

:oops: Ну я же не знал, что это такая сложная задача.
Вот и решал её как простую… :lol: :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение04.05.2012, 05:42 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #566483 писал(а):
это не децкая задача

Как раз совсем дедцкая.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group