2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение01.05.2012, 19:31 
Аватара пользователя
$X$- компактное метрическое пространство с метрикой $\rho$. $f:X\to X$- непрерывное отображение для которого $\rho (f(x),f(y))<\rho (x,y),x\ne y$. Как доказать, что $f$ имеет неподвижную точку и будет ли она единственной?

 
 
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение01.05.2012, 20:47 
Возьмите две точки рядом и проитерируйте ваше неравенство. Посмотрите, что получится. А насчёт единственности. Подставьте неподвижные точки в неравенство, если их несколько.

 
 
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение01.05.2012, 21:14 
Аватара пользователя
См. также Данфорд и Шварц. Линейные операторы. т.1. Пар. 5.10. Теорема Шаудера - Тихонова.

 
 
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение01.05.2012, 21:50 
мат-ламер в сообщении #566374 писал(а):
См. также Данфорд и Шварц. Линейные операторы. т.1. Пар. 5.10. Теорема Шаудера - Тихонова.

вот сами и см. также :lol1:

 
 
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение01.05.2012, 22:05 
Рассмотрите функцию $F(x)=\rho (x,\ f(x)).$
Как функция (числовая) непрерывная на компакте, она в некоторой точке достигает минимума.
Что можно сказать об этой точке?

 
 
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение01.05.2012, 22:12 
hippie
Я всроминаю такую задачу. Пусть $X,\rho$ -- метрическое пространство и $f:X\to X,\quad\rho(f(x),f(y))<\rho(x,y),\quad x\ne y$. Доказать, что если последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$ содержит сходящуюся подпоследовательность то $f$ имеет неподвижную точку.

 
 
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение01.05.2012, 23:04 
Аватара пользователя
Предположим, что $\inf\limits_{x\in X}\rho (f(x),x)=\rho(f(x_0),x_0)=a>0$, тогда $\rho(f(x_0),ff(x_0))<a$. Противоречие. А про последовательности я что-то не совсем понял, точнее совсем не понял. Рассматривая последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$ выделяю подпоследовательность $x_{n_k}\to x^{(1)}$, тогда $f(x_{n_k})=x_{n_k+1}\to f(x^{(1)})$, а как доказать, что $x_{n_k+1}\to x^{(1)}$?

 
 
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение02.05.2012, 07:54 
это не децкая задача

 
 
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение02.05.2012, 07:59 
Oleg Zubelevich в сообщении #566483 писал(а):
это не децкая задача

Во-первых, правильно говорить "не деццкая". Во вторых:

hippie в сообщении #566389 писал(а):
Как функция (числовая) непрерывная на компакте, она в некоторой точке достигает минимума.
Что можно сказать об этой точке?

Так может ли этот минимум быть ненулевым?...

 
 
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение02.05.2012, 11:14 
Oleg Zubelevich в сообщении #566392 писал(а):
hippie
Я вспоминаю такую задачу. Пусть $X,\rho$ -- метрическое пространство и $f:X\to X,\quad\rho(f(x),f(y))<\rho(x,y),\quad x\ne y$. Доказать, что если последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$ содержит сходящуюся подпоследовательность то $f$ имеет неподвижную точку.

Поскольку последовательность $\rho(x_n, x_{n+1})$ невозрастает и ограничена снизу, то существует предел $\rho_0 = \lim\limits_{n\to\infty} \rho(x_n, x_{n+1}).$
Пусть $y = \lim\limits_{k\to\infty} x_{n_k}.$ Тогда $f(y) = \lim\limits_{k\to\infty} x_{n_k+1}$ и $f(f(y)) = \lim\limits_{k\to\infty} x_{n_k+2}.$
Следовательно, $\rho (f(f(y)), f(y)) = \lim\limits_{k\to\infty} \rho (x_{n_k+2}, x_{n_k+1}) = \rho_0 = \lim\limits_{k\to\infty} \rho (x_{n_k+1}, x_{n_k}) = \rho (f(y), y),$ а это возможно только при $\rho (f(y), y)=0.$

 
 
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение02.05.2012, 11:38 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #566484 писал(а):
Так может ли этот минимум быть ненулевым?

Не может, это противоречит тому что на $X$ достигается минимум $f$. Тогда, если минимум нулевой, понятно что неподвижная точка будет.
hippie
Не понимаю. Последовательность $\rho (x_n,x_{n+1})$- убывает. И тогда если $\rho_0=0$, то $\rho (f(f(y)),f(y))<\rho (f(y),y)=0$, как такое возможно?

 
 
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение02.05.2012, 13:47 
xmaister в сообщении #566521 писал(а):
Не понимаю. Последовательность $\rho (x_n,x_{n+1})$ — убывает. И тогда если $\rho_0=0$, то $\rho (f(f(y)),f(y))<\rho (f(y),y)=0$, как такое возможно?

Не понимаю, откуда у Вас появилось неравенство $\rho (f(f(y)), f(y)) < \rho (f(y), y).$
У меня было доказано, что наоборот — всегда выполнено точное равенство $\rho (f(f(y)) , f(y)) = \rho (f(y) , y) = \rho_0.$

 
 
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение02.05.2012, 16:26 
hippie в сообщении #566518 писал(а):
Oleg Zubelevich в сообщении #566392 писал(а):
hippie
Я вспоминаю такую задачу. Пусть $X,\rho$ -- метрическое пространство и $f:X\to X,\quad\rho(f(x),f(y))<\rho(x,y),\quad x\ne y$. Доказать, что если последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$ содержит сходящуюся подпоследовательность то $f$ имеет неподвижную точку.

Поскольку последовательность $\rho(x_n, x_{n+1})$ невозрастает и ограничена снизу, то существует предел $\rho_0 = \lim\limits_{n\to\infty} \rho(x_n, x_{n+1}).$
Пусть $y = \lim\limits_{k\to\infty} x_{n_k}.$ Тогда $f(y) = \lim\limits_{k\to\infty} x_{n_k+1}$ и $f(f(y)) = \lim\limits_{k\to\infty} x_{n_k+2}.$
Следовательно, $\rho (f(f(y)), f(y)) = \lim\limits_{k\to\infty} \rho (x_{n_k+2}, x_{n_k+1}) = \rho_0 = \lim\limits_{k\to\infty} \rho (x_{n_k+1}, x_{n_k}) = \rho (f(y), y),$ а это возможно только при $\rho (f(y), y)=0.$

Даааа, Вы класс продемонстрировали. Это результат Эдельштейна, в монографии Эдвардса по функциональному анализу он предлагается в качестве задачи. Так вот план доказательства, который там приведен, гораздо сложнее, чем то, что Вы написали. Мои поздравления!

 
 
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение04.05.2012, 01:05 
Oleg Zubelevich в сообщении #566560 писал(а):
Это результат Эдельштейна, в монографии Эдвардса по функциональному анализу он предлагается в качестве задачи. Так вот план доказательства, который там приведен, гораздо сложнее, чем то, что Вы написали.

:oops: Ну я же не знал, что это такая сложная задача.
Вот и решал её как простую… :lol: :lol:

 
 
 
 Re: Неподвижная точка отображения компакта в себя
Сообщение04.05.2012, 05:42 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #566483 писал(а):
это не децкая задача

Как раз совсем дедцкая.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group