Неравенство

[iensen]

Помогите доказать неравенство:
_\frac{(n^3-1)*(n^3-2)*...* (n^3-(n-1))}{(n^3+1)*(n^3+2)*...* (n^3+(n-1))}>=_\frac{n-1}{n}

n-натуральное.

Источник: Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. - Алгоритмы, построение, анализ.,2-e изд ,упр 5.3-5
(правда там не само неравенство, но задача к нему сводится)

Книгу читаю на досуге, застрял:)

[AKM]

$$\frac{(n^3-1)(n^3-2)\ldots (n^3-(n-1))}{(n^3+1)(n^3+2)\ldots (n^3+(n-1))}\ge \frac{n-1}{n}$$

Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
В теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

[iensen]

Кажется решил.
1. Докажем, что для положительных чисел $z_1,\ldots, z_n$ выполняется неравенство
$(1-z_1)*(1-z_2)*\ldots*(1-z_n)>=1-(z_1+z_2+\ldots+z_n)$ (1)
Применим метод мат. индукции.
A. $1-z_1>=1-z_1$
B. Пусть $(1-z_1)*(1-z_2)*\ldots*(1-z_{k-1})>=1-(z_1+z_2+\ldots+z_{k-1})$

Покажем, что $(1-z_1)*(1-z_2)*\ldots*(1-z_{k})>=1-(z_1+z_2+\ldots+z_{k})$
$(1-z_1)*(1-z_2)*\ldots*(1-z_{k})=(1-z_1)*(1-z_2)*\ldots*(1-z_{k-1})*(1-z_{k})\ge(1-(z_1+z_2+\ldots+z_{k-1}))*(1-z_{k})=\\=1-(z_1+\ldots+z_k)+z_k*(z_1+\ldots+z_{k-1})\ge 1-(z_1+\ldots+z_k)$
Чтд.

2. Преобразуем левую часть нашего неравенства:
$\frac{(n^3-1)(n^3-2)\ldots (n^3-(n-1))}{(n^3+1)(n^3+2)\ldots (n^3+(n-1))}= \frac{n^3-1}{n^3+1}*\frac{n^3-2}{n^3+2}*\ldots*\frac{n^3-(n-1)}{n^3+(n-1)}=\\=\frac{n^3+1-2*1}{n^3+1}*\frac{n^3+2-2*2}{n^3+2}*\ldots*\frac{n^3+(n-1)-2*(n-1)}{n^3+(n-1)}=\\=(1-\frac{1*2}{n^3+1})*(1-\frac{2*2}{n^3+2})*(1-\frac{2*(n-1)}{n^3+(n-1)}) \ge \\ \ge (1-\frac{1*2}{n^3})*(1-\frac{2*2}{n^3})*(1-\frac{2*(n-1)}{n^3}) $

Применим неравенство (1) для $z_i=\frac{2*i}{n^3}$

$(1-\frac{1*2}{n^3})*(1-\frac{2*2}{n^3)})*(1-\frac{2*(n-1)}{n^3}) \ge \\ \ge 1-2*\frac{1+n+\ldots+(n-1)}{n^3} =1-2*\frac{n*(n-1)}{2*(n^3)}=1-\frac{n*(n-1)}{n^3} $

Т.О. $\frac{(n^3-1)(n^3-2)\ldots (n^3-(n-1))}{(n^3+1)(n^3+2)\ldots (n^3+(n-1))} \ge 1-\frac{n*(n-1)}{n^3} \ge 1-\frac{n^2}{n^3} = 1-\frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$
ЧТД. (?)

[AKM]

Мы проверили ваши формулы и нашли ошибки в оформлении. Нажмите для получения подробностей.
Вы видели этот текст при наборе формул?
Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин для исправления формул. В частности, "звёздочки" невыносимы. Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

-- 24 апр 2012, 13:12 --

Нумерованные формулы: $$ .... \eqno(1) $$