Подгруппа группы

[stas45rus]

Здравствуйте все. Помогите пжл. решить, или хотя бы объясните с чего начать.
Элементы группы обозначим через (1), (23), (12), (123),
(132), (13), (14), (24), (34), (234), (243), (134), (143),
(124), (142), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1234), (1342),
(1423), (1432), (1243), (1324).
а) Доказать, что подмножество является подгруппой группы .
б) Найти левые и правые смежные классы группы по данной подгруппе.
в) Выяснить, является ли подгруппа В нормальным делителем группы .
г) Если является, то найти ее фактор-группу.
Заранее спасибо.

[alcoholist]

Еще бы понимать что такое эти скобочки и что за группа, элементы которой они обозначают.

[stas45rus]

вот такое задание. я думаю, что это множество подстановок.

[Sonic86]

Формулы следует набирать, как написано тут:
topic183.html

а) сколько у Вас элементов? Сколько элементов в $S_4$?
После решения а) все прочее жутко тривиально.

[stas45rus]

да Вы мне хотя бы подскажите с чего начать. я сам здесь понять ничего не могу. такое задание задал преподаватель. может хоть какие-то предложения есть?

[Sonic86]

Повторяю:

Sonic86 в сообщении #560745 писал(а):

а) сколько у Вас элементов? Сколько элементов в $S_4$?

Вычислите оба числа, и внимательно на них посмотрите.

[stas45rus]

какие именно числа?

[Sonic86]

stas45rus в сообщении #560749 писал(а):

какие именно числа?

1. Число элементов, которые образуют Вашу подгруппу (которые Вам дали).
2. Число элементов в $S_4$ (в группе перестановок 4-х элементов).

[stas45rus]

в том то и дело, что я не могу найти здесь подгруппу. может это она (12)(34), (13)(24), (14)(23)?

[Sonic86]

stas45rus в сообщении #560758 писал(а):

в том то и дело, что я не могу найти здесь подгруппу

Ааа, Вы хотите сказать, что Вы должны рассматривать все возможные подмножества данного множества на предмет свойства "быть подгруппой"? Я думал, что у Вас нужно рассмотреть только все множество. Как надо?

stas45rus в сообщении #560758 писал(а):

в том то и дело, что я не могу найти здесь подгруппу. может это она (12)(34), (13)(24), (14)(23)?

Почти, нужно добавить нейтральный элемент. Или: чему равно $((12)(34))^2$?
Это далеко не единственная подгруппа, которую тут можно найти (их тут будет дофига).

И пишите формулы ТеХом! Долларами окружайте:

$(12)(34)$

[stas45rus]

Вы знаете я сам точно ничего не пойму. Задание такое какое оно есть в первом моём сообщении. Ну а вот ещё задачу посмотрите пожалуйста. Я думаю здесь понятней:
Пусть $H$ подгруппа группы $G , a, b \in G$. Доказать, что следующие
утверждения эквиваленты:
а) элементы $a$ и $b$ принадлежат одному и тому же правому смежному классу
группы $G$ по подгруппе $H$;
б) $Ha = Нb$;

-- 16.04.2012, 21:04 --

Пусть Н подгруппа группы G , a, bє G. Доказать, что следующие
утверждения эквиваленты:
а) элементы а и b принадлежат одному и тому же правому смежному классу
группы G по подгруппе Н;
б) $На = Нb$;

[Sonic86]

stas45rus в сообщении #560763 писал(а):

Вы знаете я сам точно ничего не пойму. Задание такое какое оно есть в первом моём сообщении.

Не, ну тогда значит рассматривается все множество, а не его подмножества, т.е. легкий вариант, не усложняйте

(формулы)

Формулы нужно писать исключительно английскими буквами, тогда ерроров не будет.
Значит включения пишется \in : $a,b \in G$
(наводите мышкой на формулы также - виден их код в виде хинта)

Вторая задача тоже простая. Начните хоть как-то рассуждать. Например, запишите формулами отношение "$a,b$ принадлежат к одному смежному классу $G$ по $H$". Как обозначается смежный класс произвольного элемента $g$? Когда запишите формулы - посмотрите, как их можно преобразовать?

[stas45rus]

ладно,со 2-й задачей я думаю разберусь сам. а вот в первой а) Доказать, что подмножество является подгруппой группы. Итак, подмножество $H$ группы $G$ является его подгруппой тогда, когда:
1. произведение любых двух элементов подмножества принадлежит подмножеству
2. единичный элемент должен принадлежать рассматриваемому подмножеству
Во-первых не могу понять про произведение.Например $(13)(24)$ это транспозиция? Если да, то как их перемножить, общего элемента ведь нет? У меня просьба. Если Вам не трудно, то покажите как под буквой а) сделать и там я думаю, что дальше сам разберусь

[Sonic86]

stas45rus в сообщении #560782 писал(а):

Итак, подмножество $H$ группы $G$ является его подгруппой тогда, когда:
1. произведение любых двух элементов подмножества принадлежит подмножеству
2. единичный элемент должен принадлежать рассматриваемому подмножеству

Вот можете взять и проверить это

stas45rus в сообщении #560782 писал(а):

Во-первых не могу понять про произведение.Например $(13)(24)$ это транспозиция?

Ааа, это просто запись подстановки в виде произведения независимых циклов. Перестановки обычно пишутся так: $\binom{1 \ 2 \ 3 \ 4}{3 \ 4 \ 1 \ 2}$ - 1 переходит в 3, 2 - в 4, 3 - в 1, 4 - в 2. Вот если Вы начнете смотреть, куда идет элемент 1, то видите цепочку $1 \to 3 \to 1$ - цикл, вот его и пишут $(13)$, аналогично $2 \to 4 \to 2$ - $(24)$. Вот и получаем $\binom{1 \ 2 \ 3 \ 4}{3 \ 4 \ 1 \ 2}=(13)(24)$. Остальные подстановки аналогично.
Вам надо просто книжки почитать на эту тему. Скачайте себе Куроша или Кострикина или Винберга и читайте - там это описано все полностью.

stas45rus в сообщении #560782 писал(а):

У меня просьба. Если Вам не трудно, то покажите как под буквой а) сделать

Полное решение я не выложу а как делать, я Вам уже сказал - выполните описанную процедуру, она механическая. 3-й раз повторить?

[stas45rus]

как Вы говорили я сделал. здесь всего 24 элемента и 24 числа в группе перестановок $S$4$. но что это даёт?