2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Группы
Сообщение16.04.2012, 07:40 
С чего начать решение задачи?
Доказать, что факторгруппа $GL_2(Z/3Z)$ по её центру изоморфна группе $S_4$.
Спасибо

 
 
 
 Re: Групппы
Сообщение16.04.2012, 08:06 
Для начала разобраться, что такое $Z/3Z$ - мне, например, это совершенно неясно...
Затем найти центр.
Затем найти элементы факторгруппы и уже затем построить изоморфизм.

 
 
 
 Re: Групппы
Сообщение16.04.2012, 08:13 
кольцо вычетов по модулю 3

-- 16.04.2012, 09:42 --

$GL_2(Z/3Z)$ это матрицы 2*2, элементы которых 0,1,2.

-- 16.04.2012, 09:46 --

в данном случае центра это центр группы?

-- 16.04.2012, 09:48 --

Тогда центр это группа элементов перестановочных с любым элементов группы

 
 
 
 Re: Групппы
Сообщение16.04.2012, 08:59 
Naatikin в сообщении #560600 писал(а):
кольцо вычетов по модулю 3
Обычно его обозначают $\mathbb{Z}_3$

Naatikin в сообщении #560600 писал(а):
$GL_2(Z/3Z)$ это матрицы 2*2, элементы которых 0,1,2.
Не совсем - это невырожденные матрицы 2 на 2, элементы которых 0,1,2.

Naatikin в сообщении #560600 писал(а):
в данном случае центра это центр группы?

Центр это группа элементов перестановочных с любым элементов группы.

Задача несложная, нужно лишь заметить, что в факторгруппе должно быть 24 элемента (почему?), стало быть, центральных элементов совсем немного...

 
 
 
 Re: Групппы
Сообщение16.04.2012, 16:52 
в симметрической группе - $S_4$ - 24 элемента, но сколько различных матриц?
невырожденные они потому что должны существовать обратные?
тогда соотвественно определитель должен быть не равен 1

 
 
 
 Re: Групппы
Сообщение16.04.2012, 17:03 
Аватара пользователя
NQD в сообщении #560604 писал(а):
Обычно его обозначают $\mathbb{Z}_3$


так и кольцо 3-адических целых чисел обозначают, а разночтений по поводу $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ не наблюдается

-- Пн апр 16, 2012 17:31:10 --

Naatikin в сообщении #560724 писал(а):
тогда соотвественно определитель должен быть не равен 1



не равен 0 -- в данном кольце любой ненулевой элемент обратим

 
 
 
 Re: Групппы
Сообщение17.04.2012, 07:27 
почему в факторгруппе 24 элемента?

 
 
 
 Re: Групппы
Сообщение17.04.2012, 18:13 
Аватара пользователя
Naatikin в сообщении #560901 писал(а):
почему в факторгруппе 24 элемента?


сразу и не догадаться:)

Проще показать, что центр состоит из гомотетий (скалярных ненулевых матриц) -- их всего две

 
 
 
 Re: Групппы
Сообщение23.05.2012, 21:18 
пришло время доделать задачу, а не получается(
центр группы это Е и -Е.
факторгруппа состоит из классов {AE(-A),A(-E)A} т.е. всего должно быть не больше 28 элементов, полагаю какие-то будут повторяться.
допустим получил я матрицу $\left(
  \begin{array}{cc}
    0 & 1 \\
    2 & 0 \\
  \end{array}
\right)

           $ и $\left(
  \begin{array}{cc}
    0 & 2 \\
    1 & 0 \\
  \end{array}
\right)

           $ как мне теперь сопоставить с перестановками и доказать изоморфизм

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group