Группы

[Naatikin]

С чего начать решение задачи?
Доказать, что факторгруппа $GL_2(Z/3Z)$ по её центру изоморфна группе $S_4$.
Спасибо

[NQD]

Для начала разобраться, что такое $Z/3Z$ - мне, например, это совершенно неясно...
Затем найти центр.
Затем найти элементы факторгруппы и уже затем построить изоморфизм.

[Naatikin]

кольцо вычетов по модулю 3

-- 16.04.2012, 09:42 --

$GL_2(Z/3Z)$ это матрицы 2*2, элементы которых 0,1,2.

-- 16.04.2012, 09:46 --

в данном случае центра это центр группы?

-- 16.04.2012, 09:48 --

Тогда центр это группа элементов перестановочных с любым элементов группы

[NQD]

Naatikin в сообщении #560600 писал(а):

кольцо вычетов по модулю 3

Обычно его обозначают $\mathbb{Z}_3$

Naatikin в сообщении #560600 писал(а):

$GL_2(Z/3Z)$ это матрицы 2*2, элементы которых 0,1,2.

Не совсем - это невырожденные матрицы 2 на 2, элементы которых 0,1,2.

Naatikin в сообщении #560600 писал(а):

в данном случае центра это центр группы?

Центр это группа элементов перестановочных с любым элементов группы.

Задача несложная, нужно лишь заметить, что в факторгруппе должно быть 24 элемента (почему?), стало быть, центральных элементов совсем немного...

[Naatikin]

в симметрической группе - $S_4$ - 24 элемента, но сколько различных матриц?
невырожденные они потому что должны существовать обратные?
тогда соотвественно определитель должен быть не равен 1

[alcoholist]

NQD в сообщении #560604 писал(а):

Обычно его обозначают $\mathbb{Z}_3$

так и кольцо 3-адических целых чисел обозначают, а разночтений по поводу $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ не наблюдается

-- Пн апр 16, 2012 17:31:10 --

Naatikin в сообщении #560724 писал(а):

тогда соотвественно определитель должен быть не равен 1

не равен 0 -- в данном кольце любой ненулевой элемент обратим

[Naatikin]

почему в факторгруппе 24 элемента?

[alcoholist]

Naatikin в сообщении #560901 писал(а):

почему в факторгруппе 24 элемента?

сразу и не догадаться:)

Проще показать, что центр состоит из гомотетий (скалярных ненулевых матриц) -- их всего две

[Naatikin]

пришло время доделать задачу, а не получается(
центр группы это Е и -Е.
факторгруппа состоит из классов {AE(-A),A(-E)A} т.е. всего должно быть не больше 28 элементов, полагаю какие-то будут повторяться.
допустим получил я матрицу $\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ \end{array} \right) $ и $\left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) $ как мне теперь сопоставить с перестановками и доказать изоморфизм