возведение матрицы в n степень. помогите пожалуйста

[Zaikaa]

в смысле как так?

[PAV]

Жорданова форма $J$ матрицы $A$ связана с исходной матрицей соотношением $J=C^{-1}AC$, где $C$ - некоторая матрица, которую можно найти.

Теперь если мы возведем это равенство в степень $n$, то учитывая сокращения $C^{-1}C=E$, которые будут внутри, получим: $J^n=C^{-1}A^nC$. То есть $n$-я степень матрицы $A$ связана несложным соотношением с $n$-й степенью ее жордановой формы.

Ну а как возвести жоржанову форму в произвольную степень - это либо найдите где-нибудь, либо выведите сами, там все не очень сложно. Особенно для Вашего частного случая.

[Padawan]

Zaikaa
Ну, например, если $P(x)=2x^2+1$, то $P(A)=2A^2+E$, где $E$ -- единичная матрица.

[Zaikaa]

но у меня лянда получается одно число откуда взять многочлен то?

[Padawan]

Zaikaa
Собственные значения какие получились у Вас?

(Оффтоп)

произносится не лянда, а лямбда

[Zaikaa]

одно собственное значение равное 2 все =))

[Munin]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #561886 писал(а):

произносится не лянда, а лямбда

Скорее, пишется "лямбда", а произносится в беглой речи часто что-то близкое к "лямда".

[Padawan]

Zaikaa
Теперь найдите многочлен первой степени $P(x)=ax+b$ такой, что $P(2)=2^n$, $P'(2)=n2^{n-1}$.

[Профессор Снэйп]

Да тут матрица $2 \times 2$, так что, наверное, можно и без жордановой формы...

[Padawan]

Профессор Снэйп
Для любой матрицы и любой функции можно без жордановой формы. Достаточно знать только собственные значения (и их кратности).

[ewert]

Padawan в сообщении #562178 писал(а):

Достаточно знать только собственные значения (и их кратности).

Недостаточно. От жордановой структуры зависит качественное поведение решения. А знать структуру -- это почти то же самое, что и знать матрицу.

[Padawan]

ewert
Достаточно. Уже надоело это обсуждать. Посмотрите книжку Гантмахера, там описано несколько способов вычисления функций от матриц. Причем жорданова форма появляется только в следующих главах.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #562178 писал(а):

Достаточно знать только собственные значения (и их кратности).

мне тоже это кажется странным, вот две матрицы с одинаковыми собственными значениями и одинаковыми кратностями:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 &1\\ \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 &1\\ \end{pmatrix}$$

другое дело, что интерполяционный полином можно взять просто максимальной степени, и действовать так как будто все жордановы клетки максимального размера. Все, осознал ok

[Padawan]

Да, знание жордановой формы упрощает вычисления, т.к. по ней сразу видно минимальный многочлен. Но ведь жорданову форму надо сначала найти, что не просто. Тем более что и минимальный многочлен можно найти без жордановой формы.

[Zaikaa]

Всем большое спасибо =*