График в полярных координатах

[Gorthad]

Здравствуйте. У меня есть кривая, заданная в полярных координатах уравнением $ r = \cos 3 \varphi$.
В четверти $x>0, y>0$ в декартовых координатах она задается уравнением $y=f(x)$; график ее производной - $y=f'(x)$.
Мне нужно найти задание графика функции $f'(x)$ в полярных координатах, в виде $ r = \rho ( \varphi ) $. Помогите, пожалуйста.

Черным цветом нарисована собственно кривая, зеленым - $f'(x). $


-- Чт апр 05, 2012 23:44:14 --

Цитата:

Ну так давайте и порешаем вместе. Нашу изначальную $r(\varphi)$ в указанном квадранте представим как $y=f(x)$ (напишите, что получается). Потом продифференцируем (напишите, что получается). Потом попробуем взад к полярным координатам вернуться.

Т.е. я предлагаю самый тупой подход, а потом будет видно, не случатся ли какие-то упрощающие трюки у этой задачки.

Я так пробовал делать.

Вот, полюбуйтесь, первая и вторая производные f(x). А мне по большому счету вторая производная тоже нужна.

[bot]

Возьмите $\varphi$ за параметр и считайте производные функции, заданной параметрически.

[Gorthad]

Цитата:

Возьмите $\varphi$ за параметр и считайте производные функции, заданной параметрически.

Как конкретно это правильно сделать? Я пробовал считать и строить ее график, получалась глупость.
Она задается параметрическим уравнением $x = a \cos 3\varphi \cos \varphi, y = a \cos 3\varphi \sin \varphi$. Что дальше?

[Yu_K]

Начните с уравнения прямой или эллипса. Потренируйтесь на простых примерах. Производную функции заданной параметрически вспомните и про то что функции в полярных координатах - есть частный случай параметрических функций вида $(r(t)\cos(t),r(t)\sin(t))$.

[bot]

Да и здесь не сложнее эллипса, если, используя тригонометрические тождества, оба произведение записать суммой.

Gorthad в сообщении #557016 писал(а):

Я пробовал считать и строить ее график, получалась глупость.

Покажите эту глупость.

[Gorthad]

Красным показан собственно график "производной"

Ни один из кусков получившейся кривой не похож на то, что мне нужно.

[Yu_K]

Напишите какими формулами пользуетесь. И Вам нужен график параметрической функции $(y_x(t),x(t))$ в декартовых координатах - там все нормально получается. Производная параметрической функции -

$$y_x(t)=\frac{y'(t)}{x'(t)}$$

Это достаточно удобно, чтобы график нарисовать - и у Вас же еще задача найти полярное уравнение. Можно и его найти - тогда и полярными координатами можно будет пользоваться.

[Gorthad]

Цитата:

Напишите какими формулами пользуетесь.

Я же выше выложил не только графики, но и вычисления.
$\frac {dy} {dx} = \frac {dy} {d\varphi} \frac {1}{\frac{dx}{d\varphi}}$

Цитата:

Это достаточно удобно, чтобы график нарисовать - и у Вас же еще задача найти полярное уравнение. Можно и его найти - тогда и полярными координатами можно будет пользоваться.

График я уже нарисовал, выразив уравнение кривой в декартовых координатах, и в лоб посчитав производную по $x$. Мне нужно именно уравнение $r=g(\varphi)$. Как его найти?

[Yu_K]

А почему не рисуете в декартовых параметрический график - у меня там все красиво. А по поводу получения уравнения полярного начните с простых примеров - типа прямой линии - как из параметрического уравнения получить полярное - я не вижу где Вы это делаете на своем рисунке. Вспомните пример - как от декартового уравнения эллипса перейти к полярному.

В декартовых координатах график (параметрическая кривая) будет такой (для первой производной для Вашей кривой) - получен именно так как я написал в предыдущем посте
- и все нормально работает - например повернуть лепестки на некоторый угол - картинка автоматически перестраивается - это Вам для теста.

[Gorthad]

Да, Ваш график правильный. Я допустил грубую ошибку - мне почему-то казалось, что $\frac {y'(\varphi)}{x'(\varphi)}$ - это и есть та функция, которая мне нужна. Уравнение в полярных координатах будет иметь вид $\rho = \sqrt { (\frac {y'(\varphi)}{x'(\varphi)})^2 + (x(\varphi))^2 }$ - я верно понял?

[Yu_K]

Ну у Вас же Maple позволяет ответить на этот вопрос мгновенно - поручите ему эту работу.

[Gorthad]

У меня не Maple, а Wolfram Mathematica, если быть точным. Сейчас пишу с того места, где его нет.
В общем, большое спасибо за помощь!

[Yu_K]

Пока не за что.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=polar+plot+r%28t%29%3Dcos%283t%29

http://www.wolframalpha.com/input/?i=polar+plot+r%28t%29%3Dsqrt%28%28%28cos%283t%29sin%28t%29%29%27%2F%28cos%283t%29cos%28t%29%29%27%29%5E2%2B%28cos%283t%29cos%28t%29%29%5E2%29

Wolfram он и в Африке Wolfram .

[Gorthad]

Цитата:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=polar+plot+r%28t%29%3Dcos%283t%29

http://www.wolframalpha.com/input/?i=po ... %29%5E2%29

Wolfram он и в Африке Wolfram

И правда, полная ерунда. Где же ошибка?

[Yu_K]

Нарисуйте и сделайте все для прямой $x+y=1$ - хотя здесь возникнет иллюзия простоты - но для произвольной параметрической кривой вопрос перехода к полярным координатам не очень прост поначалу. Возьмите здесь параметризацию в виде $x=t,y=1-t$.

-- Вс апр 08, 2012 04:51:38 --

Да и как Вы относитесь к параметрическим кривым в полярных координатах? То есть когда и радиус и угол есть некоторые функции параметра.