График в полярных координатах

[Gorthad]

Я решил попробовать для дуги окружности.

Полярные координаты
$\rho(\varphi)=1$
Декартовы
$y(x)=\sqrt{1-x^2}$
$y'(x)=-\frac {x} {\sqrt{1-x^2}}$
Параметрическое задание
$\begin{cases} x(\varphi)=\cos \varphi\\ y(\varphi)= \sin \varphi \end{cases}$
Далее
$ \frac {y'(\varphi)} {x'(\varphi)} = \frac {\cos \varphi} {-\sin \varphi} = -\ctg \varphi$
Параметрическое задание производной:
$\begin{cases} x(\varphi)=\cos \varphi\\ y(\varphi)= -\ctg \varphi \end{cases}$
Попытка перевода в полярные координаты:
$\rho = \sqrt {(\cos \varphi)^2 + (-\ctg \varphi)^2 } \not\equiv 1$

Где ошибка? Что я не так делаю?

[Yu_K]

А почему считаете, что радиус в последнем выражении должен быть 1 - он же принимает значения всей числовой оси. Для параметрической кривой (для производной) угол $\varphi$ уже не является полярным углом - это просто параметр - поэтому чтоб не путать переобозначьте его в $t$.

И далее задача конкретная - есть параметрическая кривая (это уже производная в Вашем случае)

$x=p(t)$
$y=q(t)$

И теперь можно получить параметрическое полярное уравнение этой кривой - вот я рекомендую искать его в виде

$\rho=\rho(t)$
$\varphi=\varphi(t)$.

Первое Вы нашли правильно, далее ищите второе уравнение для $\varphi(t)$. Маткад без проблем строит подобные графики.

Можно, конечно, использовать теорему о неявной функции для второго уравнения, подставить результат в первое уравнение и получить явный вид уравнения в полярных координатах - но только в частных случаях что-то хорошее из этого может получится.

[Gorthad]

Да... Жалко, параметр $t$ выражать через $\phi$ придется.
Мне не график нужно построить, а именно задание это нужно, чтобы оценки проводить.