2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: О конструктивизме при преподавании математики.
Сообщение08.04.2012, 14:09 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
Munin в сообщении #557892 писал(а):
Математика больше, чем язык.

Теории описываются грамматиками. Что в математике есть кроме теорий? (Всякие околоматематические философствования к математике не причисляем).

 Профиль  
                  
 
 Re: О конструктивизме при преподавании математики.
Сообщение08.04.2012, 14:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
apriv в сообщении #557913 писал(а):
Конечно, до этого нужно в деталях узнать, что такое фильтры и какими свойствами обладают окрестности.

Этого никто так и не узнает. Для того, чтобы что-то понять, нужна мотивация. Т.е. нужны конкретные примеры. Изучать абстрактные конструкции, не имея ни малейшего представления о том, зачем бы они могли понадобиться хоть в принципе -- никто не в состоянии.

 Профиль  
                  
 
 Re: О конструктивизме при преподавании математики.
Сообщение08.04.2012, 14:25 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
Padawan в сообщении #557902 писал(а):
И на выходе получится математический инвалид.

Это все пустые слова, пока не будут проведены эксперименты: берем две группы студентов, обучаем их по соответствующим программам и сравниваем результаты.

 Профиль  
                  
 
 Re: О конструктивизме при преподавании математики.
Сообщение08.04.2012, 14:27 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Padawan в сообщении #557914 писал(а):
Как вы будете доказывать, что предел произведения равен произведению пределов?

Это немедленно следует из того, что умножение $\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R$ непрерывно, что нетрудно доказать прямой проверкой.
Padawan в сообщении #557914 писал(а):
Теоремы Вейрштрасса, Больцано-Коши о непрерывных функциях на отрезке как будете доказывать?

Теорема Больцано—Коши — это утверждение, что образ связного множества связен (ну, плюс полнота $\mathbb R$). Теорем Вейерштрасса на свете много. Вы имеет в виду тот факт, что отрезок компактен?
Padawan в сообщении #557914 писал(а):
Замечу, что по алгебре Вы таких экстремистких высказываний не делаете, потому, что, вероятно, понимаете, что на что опирается.

Замечу, что программа курса алгебры отстала от современности на 80 лет, а курса матанализа — на 200 лет. То, что Вы называете «экстремизмом», в курсах алгебры в целом вошло в мэйнстрим.

-- 08.04.2012, 15:28 --

ewert в сообщении #557922 писал(а):
Для того, чтобы что-то понять, нужна мотивация. Т.е. нужны конкретные примеры.

Я уже говорил о том, что первая глава при таком подходе состоит в демонстрации всех этих понятий и определений на вещественной прямой. Кто Вам сказал, что в этом изложении не будет конкретных примеров? Конечно, после каждого определения должен быть десяток примеров.

 Профиль  
                  
 
 Re: О конструктивизме при преподавании математики.
Сообщение08.04.2012, 14:36 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
apriv в сообщении #557932 писал(а):
Padawan в сообщении #557914 писал(а):
Как вы будете доказывать, что предел произведения равен произведению пределов?

Это немедленно следует из того, что умножение $\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R$ непрерывно, что нетрудно доказать прямой проверкой.

Докажите.
upd Ладно, можете не доказывать. Две строчки.
Цитата:
Теорема Больцано—Коши — это утверждение, что образ связного множества связен (ну, плюс полнота ).

Хорошо. Тогда докажите, что отрезок есть связное пространство :)

upd А это все-таки докажите.

-- Вс апр 08, 2012 16:39:06 --

Цитата:
То, что Вы называете «экстремизмом», в курсах алгебры в целом вошло в мэйнстрим.

Почему же в линейной алгебре изучают векторные пространства, а не модули над кольцами?

 Профиль  
                  
 
 Re: О конструктивизме при преподавании математики.
Сообщение08.04.2012, 14:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Padawan в сообщении #557937 писал(а):
Почему же в линейной алгебре изучают векторные пространства, а не модули над кольцами?

Потому, что линейная алгебра отстала от жизни лет на 200. Она в ближайших приложениях нужна для поиска экстремумов ФНП и решения линейных систем ДУ, а там, конечно, нужны именно кольца над модулями, но никак не линейные пространства. Изучать же аналитическую геометрию и вовсе нелепо. Ну скажите, зачем рисовать нормаль к плоскости, если достаточно нарисовать кольцо и взять его по модулю!

-- Вс апр 08, 2012 15:55:56 --

apriv в сообщении #557932 писал(а):
Я уже говорил о том, что первая глава при таком подходе состоит в демонстрации всех этих понятий и определений на вещественной прямой.

Дело в том, что это преждевременно. В школе пределов вообще нет, и даже язык эпсилон-дельт и/или окрестностей для бывшего школьника -- это уже некоторый шок. Требуется определённое время, чтобы он просто привык к новому понятийному аппарату, а для этого нужно, чтобы он мог пощупать его пальчиками на привычном материале.

 Профиль  
                  
 
 Re: О конструктивизме при преподавании математики.
Сообщение08.04.2012, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
LaTeXScience в сообщении #557920 писал(а):
Теории описываются грамматиками. Что в математике есть кроме теорий?

То, что теории описываются грамматиками, не означает, что они и есть грамматики. В теориях возможно проводить вычисления.

 Профиль  
                  
 
 Re: О конструктивизме при преподавании математики.
Сообщение08.04.2012, 15:09 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Padawan в сообщении #557937 писал(а):
Хорошо. Тогда докажите, что отрезок есть связное пространство :)

Уииии, мы возвращаемся на первый курс. Только зачем? Предположим, что есть непрерывное непостоянное отображение $f\colon [a,b]\to \{0,1\}$. Пусть для определенности есть $x,y\in[a,b]$ такие, что $x<y$ и $f(x)=0$. Рассмотрим $s=\sup\{z\mid x\leq z\leq y, f(z)=0\}$. Из непрерывности $f$ следует, что $f(s)=0$, а если $s<y$, то получаем противоречие из непрерывности в точке $s$. Значит, $f(y)=0$.
Padawan в сообщении #557937 писал(а):
Почему же в линейной алгебре изучают векторные пространства, а не модули над кольцами?

Мы изучали модули над кольцами, и теорему о жордановой форме выводили из структурной теории для модулей над кольцами главных идеалов.
ewert в сообщении #557943 писал(а):
Изучать же аналитическую геометрию и вовсе нелепо.

Совершенно верно, при наличии курсов линейной алгебры и коммутативной алгебры изучать «аналитическую геометрию» совершенно нелепо.

 Профиль  
                  
 
 Re: О конструктивизме при преподавании математики.
Сообщение08.04.2012, 15:13 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
Munin в сообщении #557947 писал(а):
То, что теории описываются грамматиками, не означает, что они и есть грамматики.

Теория -- это формальная система. Формальная система -- это набор, состоящий из алфавита, грамматики (синтаксис), которая определяет, что такое правильно построенная формула, и грамматики (исчисление), которая определяет, что такое выводимая правильно построенная формула.
Munin в сообщении #557947 писал(а):
В теориях возможно проводить вычисления.

??? Это к чему было сказано? Я не понял. Какие еще вычисления?

 Профиль  
                  
 
 Re: О конструктивизме при преподавании математики.
Сообщение08.04.2012, 15:22 
Заслуженный участник


08/01/12
915
LaTeXScience в сообщении #557961 писал(а):
Формальная система -- это набор, состоящий из алфавита, грамматики (синтаксис), которая определяет, что такое правильно построенная формула, и грамматики (исчисление), которая определяет, что такое выводимая правильно построенная формула.

Математика не занимается выводом одних формул из других по формальным правилам. Откройте любую математическую статью — с вероятностью, близкой к 1, Вы не найдете в ней формального вывода одних утверждений из других.

 Профиль  
                  
 
 Re: О конструктивизме при преподавании математики.
Сообщение08.04.2012, 15:32 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
apriv в сообщении #557964 писал(а):
Математика не занимается выводом одних формул из других по формальным правилам.

То, каким образом математик придумал там чего-то, к самой математике никакого отношения не имеет. Эти феномены пусть изучает когнитивистика.
apriv в сообщении #557964 писал(а):
Откройте любую математическую статью — с вероятностью, близкой к 1, Вы не найдете в ней формального вывода одних утверждений из других.

Подразумевается, что их можно проделать, если понадобится.

 Профиль  
                  
 
 Re: О конструктивизме при преподавании математики.
Сообщение08.04.2012, 16:20 
Заслуженный участник


14/12/06
881
LaTeXScience в сообщении #557811 писал(а):
zbl в сообщении #557294 писал(а):
Сопроцессора.
И это особенно делает рельефным его сходство с алгоритмами составления пятизначных таблиц?
Не старайтесь превзойти самого себя.

http://en.wikipedia.org/wiki/Lookup_table
http://en.wikipedia.org/wiki/Pentium_FDIV_bug

LaTeXScience, Вы к той ли моей цитате это написали, что хотели?
Здесь я уточнил, что FPU, а не CPU, а потом заметил, что собеседник превосходит сам себя, выдирая до абсурда несущественную деталь (программно или аппаратно реализован алгоритм) и потом раздувая её до вселенского масштаба.
Может, Вы хотели эти ссылки написать к тому, как я говорил "не стану рассказывать, как вычисляется синус"?
Речь о специфичных приёмах составления таблиц, которые опираются на то, что заполнять их можно в удобном нам порядке, а точность мала и фиксирована.
Компьютеру же приходится уметь вычислять любое значение и с большой точностью.
Если Вам пример с таблицами кажется неудачным, то я могу привести мильён ещё других: подсчёт значности для логарифмической линейки; формулы умножения до изобретения логарифмов; в древности до изобретения алгебры формулы рисовали в виде картинок -- приёмы рисования этих картинок; Ньютон пользовался так называемым синтетико-геометрическим методом, который Эйлер заменил координатами и уравнениями в частных производных.
Кстати говоря, диаграммы Феймана -- это как раз способ, рисуя, выполнять алгебраические преобразования.
Но приёмы рисования картинок вместо того, чтобы обозначать числа буквами, преподавать сейчас никто не станет.
Вот идеи вечны, а специфические приёмы часто полностью вымирают.
Проблема отличать усопший уже приём от хорошего примера, иллюстрирующего важную идею...

 Профиль  
                  
 
 Re: О конструктивизме при преподавании математики.
Сообщение08.04.2012, 16:28 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
zbl
Я к тому привел эти ссылки, чтобы показать Вам как на самом деле вычисляется синус: http://en.wikipedia.org/wiki/Lookup_tab ... ting_sines

 Профиль  
                  
 
 Re: О конструктивизме при преподавании математики.
Сообщение08.04.2012, 16:29 
Заслуженный участник


14/12/06
881
Munin в сообщении #557705 писал(а):
Элементарно, Ватсон. Есть разные специалисты. Одни пишут системы, которые решают дифуры, другие ими пользуются. Каждым нужно преподавать своё. То, что вторым что-то будет "учить не нужно", не значит, что оно устарело, поскольку останется в программе для первых. Сдвиг спроса на специалистов с одним и другим набором скиллов не отменяет существования ни первых, ни вторых.

Есть вещи, которые умирают совсем -- их преподавать не нужно.
Не нужно учить пользоваться логарифмической линейкой -- не нужно даже, чтобы дети знали, что такой прибор когда-то был (в курсе истории разве только).
Так вот как отличить то, что умерло и преподавать уже не нужно его, от того, что только не используется никем уже, но в себе содержит важные идеи и что учить всё ещё нужно?
Принцип-то какой?

 Профиль  
                  
 
 Re: О конструктивизме при преподавании математики.
Сообщение08.04.2012, 16:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
LaTeXScience в сообщении #557961 писал(а):
Формальная система -- это набор, состоящий из алфавита, грамматики (синтаксис), которая определяет, что такое правильно построенная формула, и грамматики (исчисление), которая определяет, что такое выводимая правильно построенная формула.

Хорошо, в таких терминах "грамматика (исчисление)" - это уже "больше чем язык".

LaTeXScience в сообщении #557967 писал(а):
То, каким образом математик придумал там чего-то, к самой математике никакого отношения не имеет. Эти феномены пусть изучает когнитивистика.

Вы ещё созреете и откажетесь от этого экстремизма...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 134 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group