О конструктивизме при преподавании математики.

[Ales]

apriv в сообщении #557744 писал(а):

«Современные абстракции», как Вы их называете, гораздо проще понять, чем эпсилоны и дельты с тремя переменами кванторов в определении непрерывности. Эти эпсилоны и дельты исторически возникли не от хорошей жизни, а от того, что проще определений в начале девятнадцатого века не смогли придумать.

Определение предела через эпсилон - дельта включает в себя конструктивный метод.
И если человек когда-нибудь доберется до реальных вычислений,
то эти эпсилон и дельты и разные оценки ему реально пригодятся.
К тому же, всё в конце-концов сводится к числам (десятичным дробям)
и никаких других сущностей кроме эпсилон и дельта не бывает.
Остальные пределы (в пространстве функций и т.п.) это только надстройки над основной,
естественной конструкцией, введенной Коши.

Конечно значки для кванторов не добавляют понимания.
Их поэтому не очень хорошо употреблять в первых главах учебников и лекций для не математиков.

Если знаете определение предела проще чем через эпсилон и дельта, напишите.
Будет любопытно посмотреть.

[ewert]

Ales в сообщении #557787 писал(а):

Конечно значки для кванторов не добавляют понимания.
Их поэтому не очень хорошо употреблять в первых главах учебников и лекций для не математиков.

Нет, они всё же необходимы: без них очень неудобно формулировать отрицания. Другое дело, что ими не следует злоупотреблять.

-- Вс апр 08, 2012 09:50:20 --

Ales в сообщении #557787 писал(а):

Если знаете определение предела проще чем через эпсилон и дельта, напишите.

Проще всего топологическое -- на языке окрестностей. И его надо вводить сразу же (конечно, не употребляя слова "топология"), чтобы объединить множество разнородных пределов в нечто единое. Но не вместо, а наряду с эпсилон-дельтами.

[Munin]

ewert в сообщении #557794 писал(а):

Проще всего топологическое -- на языке окрестностей. И его надо вводить сразу же (конечно, не употребляя слова "топология"), чтобы объединить множество разнородных пределов в нечто единое. Но не вместо, а наряду с эпсилон-дельтами.

У меня такое ощущение, что до тренировки на эпсилон-дельтах у студента толком нет интуиции того, что такое окрестности. Скажите, я прав или не прав? Если так, то на языке окрестностей для него не проще, хотя для нас - проще (хотя бы потому, что более общо).

[LaTeXScience]

MaximVD в сообщении #557079 писал(а):

Допустим, вы "запихнули что-то" в мат.пакет и компьютер вам в ответ "что-то" выдал. А как понять правильный это ответ или нет? А вдруг кто-то допустил ошибку при программировании мат.пакета (что порой случается) и результат получился совсем не тот, какой нужно.

ru.wikipedia.org/wiki/Формальная_верификация

-- 08.04.2012, 11:03 --

MaximVD в сообщении #557079 писал(а):

К тому же порой компьютера нет под рукой.

Иногда и бумаги с ручкой нет под рукой. И что?

-- 08.04.2012, 11:27 --

zbl в сообщении #557294 писал(а):

Сопроцессора.
И это особенно делает рельефным его сходство с алгоритмами составления пятизначных таблиц?
Не старайтесь превзойти самого себя.

http://en.wikipedia.org/wiki/Lookup_table
http://en.wikipedia.org/wiki/Pentium_FDIV_bug

[apriv]

Ales в сообщении #557787 писал(а):

Остальные пределы (в пространстве функций и т.п.) это только надстройки над основной,
естественной конструкцией, введенной Коши.

Конструкцию Коши никак нельзя назвать естественной. В любом случае, эпсилоны-дельта в стиле Коши — лишь один из способов обоснования анализа, но далеко не единственный.

Ales в сообщении #557787 писал(а):

Если знаете определение предела проще чем через эпсилон и дельта, напишите.
Будет любопытно посмотреть.

Точка $y$ называется пределом отображения $f$ по фильтру $F$, если для любой окрестности точки $y$ ее прообраз принадлежит фильтру.

[LaTeXScience]

Padawan в сообщении #557368 писал(а):

Обучение индуктивное, от простого к сложному, от менее абстрактных вещей к более абстрактным.

Я не согласен с тем, что обучение может быть только индуктивное. Например, сначала изучаем теорию множеств, потом абстрактную алгебру, теорию меры, etc, т.е. частные случаи.

[ewert]

Munin в сообщении #557808 писал(а):

У меня такое ощущение, что до тренировки на эпсилон-дельтах у студента толком нет интуиции того, что такое окрестности. Скажите, я прав или не прав?

Нет, интуиция насчёт окрестностей (метрических, общетопологические на этот момент совсем ни к чему) у них как раз есть. И структура формулировок одна и та же что на одном языке, что на другом. Я бы сказал так: проблема в том, что само понятие предела -- логически довольно сложное, и за формальным определением не очень виден его смысл. В частности, потому, что по смыслу эти окрестности/эпсилоны сколь угодно малы, но в аккуратной формулировке явное указание на это отсутствует. Так вот: в численном варианте определения эта малость просвечивает гораздо сильнее, чем в топологическом, и в этом смысле действительно первый вариант "ближе к телу".

Но, с другой стороны, формулировка в эпсилон-дельтах гораздо более громоздка и менее универсальна, чем в окрестностях. Поэтому я и говорю, что надо давать оба варианта одновременно.

-- Вс апр 08, 2012 12:02:33 --

LaTeXScience в сообщении #557828 писал(а):

сначала изучаем теорию множеств, потом абстрактную алгебру, теорию меры, etc, т.е. частные случаи.

А если теория множеств не нужна (а она подавляющему большинству и не нужна иначе, как язык)?...

[apriv]

LaTeXScience в сообщении #557828 писал(а):

Например, сначала изучаем теорию множеств, потом абстрактную алгебру, теорию меры, etc, т.е. частные случаи.

Тогда уж теорию категорий сначала.

[LaTeXScience]

ewert в сообщении #557830 писал(а):

А если теория множеств не нужна (а она подавляющему большинству и не нужна иначе, как язык)?...

Хуже, математика не нужна иначе, как язык.

-- 08.04.2012, 12:36 --

apriv в сообщении #557837 писал(а):

Тогда уж теорию категорий сначала.

Теория множеств не менее абстрактная (NBG, например).

[Joker_vD]

ewert в сообщении #557830 писал(а):

Но, с другой стороны, формулировка в эпсилон-дельтах гораздо более громоздка и менее универсальна, чем в окрестностях. Поэтому я и говорю, что надо давать оба варианта одновременно.

Так у нас так и делали: ввели эпсилон-дельта, ввели понятие окрестностей, переформулировали, обсудили смысл понятия предела.

apriv думает, что введение правильных определений уменьшит сложность матанализа... нет. Есть сложности и тонкости самого предмета, которые существуют независимо от определений. В нестандартном анализе многие теоремы классического анализа доказываются гораздо проще — за счет того, что модель нестандартных вещественных чисел строится гораздо труднее.

[apriv]

Joker_vD в сообщении #557875 писал(а):

Есть сложности и тонкости самого предмета, которые существуют независимо от определений. В нестандартном анализе многие теоремы классического анализа доказываются гораздо проще — за счет того, что модель нестандартных вещественных чисел строится гораздо труднее.

В курсах матанализа вещественные числа зачастую вообще никак не строятся, или приводится построение без проверки всех необходимых свойств. С этой точки зрения неважно — постулировать, что полное упорядоченное поле существует, или что модель нестандартных вещественных чисел существует. Поэтому, конечно, преподавание на основе нестандартного анализа гораздо проще.

[Munin]

ewert в сообщении #557830 писал(а):

Я бы сказал так: проблема в том, что само понятие предела -- логически довольно сложное, и за формальным определением не очень виден его смысл.

Для меня оно всегда было просто: ведём пальцем по графику функции, и куда-то упираемся. Всё остальное - способы сказать это строго, подчас довольно скучные.

LaTeXScience в сообщении #557845 писал(а):

Хуже, математика не нужна иначе, как язык.

Математика больше, чем язык.

[Padawan]

apriv в сообщении #557824 писал(а):

Точка $y$ называется пределом отображения $f$ по фильтру $F$, если для любой окрестности точки $y$ ее прообраз принадлежит фильтру.

Да никто этого не поймет, минуя самые обычные эпсилоны и дельты.

-- Вс апр 08, 2012 15:52:21 --

LaTeXScience в сообщении #557828 писал(а):

Padawan в сообщении #557368 писал(а):

Обучение индуктивное, от простого к сложному, от менее абстрактных вещей к более абстрактным.

Я не согласен с тем, что обучение может быть только индуктивное. Например, сначала изучаем теорию множеств, потом абстрактную алгебру, теорию меры, etc, т.е. частные случаи.

И на выходе получится математический инвалид.

[apriv]

Padawan в сообщении #557902 писал(а):

Да никто этого не поймет, минуя самые обычные эпсилоны и дельты.

Почему? Конечно, до этого нужно в деталях узнать, что такое фильтры и какими свойствами обладают окрестности.

[Padawan]

Без связи с геометрией, физикой, короче с жизнью, это будет непонятная заумь.
Я уже говорил, что сначала определение предела надо разобрать на языке эпсилон-дельта.
Как вы будете доказывать, что предел произведения равен произведению пределов? Теоремы Вейрштрасса, Больцано-Коши о непрерывных функциях на отрезке как будете доказывать?

-- Вс апр 08, 2012 16:07:51 --

Замечу, что по алгебре Вы таких экстремистких высказываний не делаете, потому, что, вероятно, понимаете, что на что опирается.