Решить систему в целых числах

[Twidobik]

Нужно решить в целых числах систему:
$z^2 = 2xy + 9$
$\sqrt {2^x + 45} = 3x - y - z$

Из второго уравнения системы очевидно, что $x = 2$ и затем с легкостью находятся и остальные неизвестные. Но как доказать, что данное Х только одно и система имеет единственное решение? Подскажите пожалуйста

[Dan B-Yallay]

из второго уравнения очевидно, что $\sqrt{2^x+45}$ должно быть целым числом, то есть

$$2^x=n^2-45, \qquad n \in \mathbb N$$

То есть $n^2-45$ должно быть степенью двойки. Тепeрь осталось дождаться алгебраистов, чтобы понять, есть такие $x$ кроме $x=2$.

[Sonic86]

Dan B-Yallay в сообщении #556254 писал(а):

$$2^x=n^2-45, \qquad n \in \mathbb N$$

Берем по модулю $8$. Если $x\geqslant 3$, то решений нет.

[Dan B-Yallay]

(Sonic86)

Я в теории чисел ни танцор и ни пловец. Почему мод 8?

[Sonic86]

(Dan B-Yallay)

Dan B-Yallay в сообщении #556279 писал(а):

Я в теории чисел ни танцор и ни пловец. Почему мод 8?

Я тоже не особо
Берется степень двойки потому, что $2^x$. Берется именно $3$ потому, что $\mathbb{Z}_{2^n}^{\times}\cong \mathbb{Z}_{2^{n-2}}^+ \times \mathbb{Z}_2^+$ ($2\not | a \Rightarrow a^2\equiv 1 \pmod 8$) - это так только для простого числа $2$ (потому что оно специальное, имеет вид $1-\lambda$, где $\lambda$ - образующая группы единиц в $\mathbb{Z}$), для остальных простых формула для $\mathbb{Z}_{p^n}^{\times}$ проще и там такой прием не прокатывает.
Тут нам на самом деле повезло. Руст показывал более общий прием для уравнений $n^2-b^x=C$ - рассматривать четные и нечетные $x$: в одном случае получаем разность квадратов, раскладываем на множители и перебираем делители, во 2-м - уравнение Пелля и там с ним еще немножко мучаемся (или даже не так...). Несколько тем с такими уравнениями уже были.
Вообще, чем сильнее показатель у $b^x$ ограничим, тем меньше возможность найти решений.
Еще: если у нас уравнение со степенями $b^x, b=\operatorname{const}$, то $b^x \mod m$ имеет не очень регулярное множество значений в зависимости от модуля - либо конечное число ненулевых значений, либо $\frac{\varphi (m)}{d}$ значений - на этом можно "играть".
Надеюсь, что понятно

[Shadow]

$2^x \equiv n^2 \pmod 3$ Следовательно x- четное, разность квадратов, разложение 45 на 2 множителя

[Dan B-Yallay]

Буду грызть. Спасибо