При каких значениях а нет решений?

[ZARATUSTRA]

Прошу помочь. Есть такое задание:
При каких значениях $a$ уравнение не имеет решений?
$(a+4)\sin^2 x + 2(a+4)\sin x + a = 0$
Не подсказывайте, как конкретно решать, подскажите лишь алгоритм.
Здесь нужно решать с помощью параметров? Или на какую это тему? Я боюсь, что еще такой темы не проходил - тогда напрасно сижу над задачей: нужно сразу прочитать эту теорию.

[svv]

Прибавьте $4$ к обеим частям. Упростите левую часть.

[nnosipov]

ZARATUSTRA в сообщении #556222 писал(а):

подскажите лишь алгоритм

Способов решения здесь по крайней мере два. В первом, обозначив $t=\sin{x}$, нужно исследовать соответствующий квадратный трёхчлен от $t$. При втором способе следует воспользоваться линейностью левой части относительно параметра $a$.

[ZARATUSTRA]

У меня такое чувство, что при любом a здесь есть решения.

[Shadow]

даже при $a=-4$?. Ничего не решая, только смотрим на уравнение.

[svv]

$(a+4)\sin^2 x + 2(a+4)\sin x + a = 0$
Прибавим четверку, тогда
$(a+4)\sin^2 x + 2(a+4)\sin x + (a+4) = 4$
$(a+4)(\sin^2 x + 2\sin x + 1) = 4$
$(a+4)(\sin x + 1)^2 = 4$
Введём удобные обозначения $a+4=b$, $(\sin x + 1)^2=y$. Тогда
$by=4$

Легко понять, что при любом $x$ величина $y=(\sin x + 1)^2$ удовлетворяет условию $0\leqslant y \leqslant 4$. И наоборот, для любого значения из этого отрезка существует такое $x$, что $y$ имеет это значение.

Дальше нужно найти, при каких $b$ у уравнения $by=4$ существует решение $y$, удовлетворяющее условию $0\leqslant y \leqslant 4$.

[PAV]

Можно посмотреть, какие значения может принимать выражение $\sin^2 x+2\sin x$

[bot]

Ну тогда уж лучше $\frac{4}{(\sin x+1)^2}$

[ZARATUSTRA]

svv в сообщении #556588 писал(а):

$(a+4)\sin^2 x + 2(a+4)\sin x + a = 0$
Прибавим четверку, тогда
$(a+4)\sin^2 x + 2(a+4)\sin x + (a+4) = 4$
$(a+4)(\sin^2 x + 2\sin x + 1) = 4$
$(a+4)(\sin x + 1)^2 = 4$
Введём удобные обозначения $a+4=b$, $(\sin x + 1)^2=y$. Тогда
$by=4$

Легко понять, что при любом $x$ величина $y=(\sin x + 1)^2$ удовлетворяет условию $0\leqslant y \leqslant 4$. И наоборот, для любого значения из этого отрезка существует такое $x$, что $y$ имеет это значение.

Дальше нужно найти, при каких $b$ у уравнения $by=4$ существует решение $y$, удовлетворяющее условию $0\leqslant y \leqslant 4$.

Правильно я решил? Думаю, что нет решений при таких $a \not = 4:(\sin x+1)^2 - 4$ ?
Тогда не понял, к чему вы сделали акцент на выделенном мной тексте.

[bot]

ZARATUSTRA в сообщении #556776 писал(а):

Правильно я решил? Думаю, что нет решений при таких $a \not = 4:(\sin x+1)^2 - 4$ ?

Не понимаю написанное. При каких таких $a\ne 4$ нет решений?

-- Пт апр 06, 2012 10:10:48 --

Давно заметил, что стоит простенькую задачу об определении области значений функции $f(x)$ сформулировать в терминах существования решений уравнения $f(x)=a$, так многие впадают в ступор.

[nnosipov]

bot в сообщении #556856 писал(а):

Давно заметил, что стоит простенькую задачу об определении области значений функции $f(x)$ сформулировать в терминах существования решений уравнения $f(x)=a$, так многие впадают в ступор.

Да, есть такое явление.

[Профессор Снэйп]

ZARATUSTRA в сообщении #556776 писал(а):

Введём удобные обозначения...

Чем же они удобны? Только затуманивают очевидные вещи!

Если $(a+4)(\sin^2 x + 1)^2 = 4$, то $a = 4/(\sin^2 x + 1)^2 - 4$. Теперь если $x$ отрастил себе маленькие ножки и бегает на них вдоль вещественной оси, то $\sin x$ меняется от $-1$ до $1$, $\sin^2 x$ от $0$ до $1$, $\sin^2 x + 1$ от $1$ до $2$, $(\sin^2 x + 1)^2$ от ... Продолжите самостоятельно!

[ZARATUSTRA]

Профессор Снэйп в сообщении #556862 писал(а):

ZARATUSTRA в сообщении #556776 писал(а):

Введём удобные обозначения...

Чем же они удобны? Только затуманивают очевидные вещи!

Если $(a+4)(\sin^2 x + 1)^2 = 4$, то $a = 4/(\sin^2 x + 1)^2 - 4$. Теперь если $x$ отрастил себе маленькие ножки и бегает на них вдоль вещественной оси, то $\sin x$ меняется от $-1$ до $1$, $\sin^2 x$ от $0$ до $1$, $\sin^2 x + 1$ от $1$ до $2$, $(\sin^2 x + 1)^2$ от ... Продолжите самостоятельно!

От 0 до 4. Это ясно. Сначала я подул, что $-4 \leqslant a \leqslant 0$, но сомневаюсь.

[Профессор Снэйп]

ZARATUSTRA в сообщении #556866 писал(а):

От 0 до 4. Это ясно.

Не знаю, что Вам там и где ясно, но это неправильно!

[confabulez]

Профессор Снэйп в сообщении #556862 писал(а):

Если $(a+4)(\sin^2 x + 1)^2 = 4$, то $a = 4/(\sin^2 x + 1)^2 - 4$.

У вас появился лишний квадрат синуса? Там будет $(a+4)(\sin x + 1)^2 = 4$.