Уравнения Кодацци

[Бабай]

Привет!

Если кто читал книгу Новикова и Тайманова "Современные геометрические структуры и поля" или она есть под рукой…помогите разобраться (хотел закачать в pdf три страницы из неё, к которым есть вопросы, но обнаружил, что закачать ничего нельзя…почему?…раньше же, кажется, можно было!…ведь так очень усложняется постановка вопросов по книгам!)

При чтении, у меня возникли вопросы по поводу того, как выводятся деривационные уравнения, а также к условию их интегрируемости в форме уравнений Кодацци.

На стр. 77 уравнение (3.3) умножается на матрицу, обратную к $(g_{kj})$, т.е. на $(g^{lj})$. Почему умножают на неё слева, а не справа…ведь откуда они знают, что $G$ должна коммутировать с $A$? Хотят же воспользоваться тем, что $g^{lj}g_{kj}=g^{jl}g_{kj}=\delta_{k}^{l}$, т.к. $G$ симметрична, не так ли? То есть в общем…почему $g^{lj}a_{i}^{k}g_{kj}=a_{i}^{l}$?

Н стр. 78 выдвигается требование к полученным уравнениям, чтобы они были совместны. Вопрос: в каком смысле? Говорится, что по своему геометрическому смыслу. Однако мне не ясно, что это вообще за геометрический смысл совместности. В чём заключается этот геом. смысл?

Там же приводится эквивалентное условие совместности в выше приведённом смысле. Мне не понятно, откуда взялся коммутатор матриц в эквивалентном уравнении?

Был бы признателен за помощь при разборе этих мест книги.

Спасибо.

[Munin]

Бабай в сообщении #555411 писал(а):

На стр. 77 уравнение (3.3) умножается на матрицу, обратную к $(g_{kj})$, т.е. на $(g^{lj})$. Почему умножают на неё слева, а не справа…

Вы просто перепутали два формализма. Когда векторы-матрицы записываются без индексов, к ним применяются понятия "умножить справа, умножить слева", они могут быть "транспонированы" и т. д. А когда записываются индексы и используется соглашение о суммировании, на всё это можно наплевать, спокойно переставлять множители местами, и просто смотреть, какой индекс с каким совпадает. То есть $g^{lj}a_{i}^{k}g_{kj}\equiv g_{kj}g^{lj}a_{i}^{k},$ но при этом $a_{i}^{k}\ne a_{k}^{i}.$

Бабай в сообщении #555411 писал(а):

Н стр. 78 выдвигается требование к полученным уравнениям, чтобы они были совместны. Вопрос: в каком смысле? Говорится, что по своему геометрическому смыслу. Однако мне не ясно, что это вообще за геометрический смысл совместности. В чём заключается этот геом. смысл?

Здесь всего-то "геометрического смысла" - в том, что функция $r(x^1,x^2)$ задаёт соответствие целой области плоскости $(x^1,x^2)$ и каких-то точек в (здесь 3-мерном) пространстве $r,$ так что все функции от $(x^1,x^2)$ определены именно как функции на какой-то области, и для них должны выполняться стандартные соотношения между частными производными. Под "нулевой кривизной", видимо, подразумевается то, что пространство $r,$ в котором лежит образ области, само по себе неискривлённое.

Но вообще, я гляжу, всё изложение сильно с другой стороны, чем привычно, скажем, физикам. Не уверен, что эту книжку стоит читать как первую.